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7.3 : Soustraction d'entiers


Dans la section 1.2, nous avons déclaré que « la soustraction est le contraire de l'addition ». Ainsi, pour soustraire 4 de 7, nous avons parcouru sept unités vers la droite sur la droite numérique, puis avons parcouru 4 unités dans la direction opposée (vers la gauche), comme le montre la figure (PageIndex{1}).

Ainsi, 7 − 4 = 3. La phrase clé est « ajouter le contraire ». Ainsi, la soustraction 7 − 4 devient l'addition 7 + (−4), que nous représenterions sur la droite numérique comme le montre la figure (PageIndex{2}).

La figure (PageIndex{1}) et la figure (PageIndex{2}) prouvent amplement que la soustraction 7−4 est identique à l'addition 7+(−4). Encore une fois, la soustraction signifie « ajouter le contraire ». C'est-à-dire 7 − 4=7+(−4).

Définition de la soustraction

La soustraction signifie « ajouter le contraire ». Autrement dit, si a et b sont des nombres entiers, alors

[a − b = a + (−b). onumber ]

Ainsi, par exemple, -123-150 = -123+(-150) et -57-(-91) = -57+91. Dans chaque cas, la soustraction signifie « ajouter le contraire ». Dans le premier cas, soustraire 150 revient à ajouter -150. Dans le second cas, soustraire−91 revient à ajouter 91.

Exemple 1

Trouvez les différences : (a) 4 − 8, (b) −15 − 13 et (c) −117 − (−115).

Solution

Dans chaque cas, la soustraction signifie « ajouter le contraire ».

a) Changez la soustraction en addition avec la phrase « soustraction signifie ajouter le contraire ». C'est-à-dire 4−8 = 4+(−8). Nous pouvons maintenant effectuer cette addition sur la droite numérique.

Ainsi, 4 − 8=4+(−8) = −4.

b) Changez d'abord la soustraction en addition en "ajoutant le contraire". Autrement dit, −15 − 13 = −15 + (−13). Nous pouvons maintenant utiliser l'intuition physique pour effectuer l'addition. Commencez à l'origine (zéro), marchez 15 unités vers la gauche, puis 13 unités supplémentaires vers la gauche, pour arriver à la réponse -28. C'est-à-dire,

[ egin{aligned} −15 − 13 & = −15 + (−13) ~ & = −28. end{aligné} onumber ]

c) Changez d'abord la soustraction en addition en "ajoutant le contraire". C'est-à-dire, −117 − (−115) = −117 + 115. En utilisant « Ajouter deux nombres entiers avec des signes différents » de la section 2.2, soustrayez d'abord la plus petite magnitude de la plus grande magnitude ; c'est-à-dire 117 − 115 = 2. Étant donné que −117 a la plus grande magnitude et que son signe est négatif, préfixez un signe négatif à la différence de magnitude. Ainsi,

[ egin{aligné} −117 − (−115) & = −117 + 115 & = −2. end{aligné} onumber ]

Exercer

Utilisez chacune des techniques des parties (a), (b) et (c) de l'exemple 1 pour évaluer la différence −11 − (−9).

Réponse

−2

Ordre des opérations

Nous allons maintenant appliquer les « Règles guidant l'ordre des opérations » de la section 1.5 à un certain nombre d'exemples d'exercices.

Exemple 2

Simplifier −5 − (−8) − 7.

Solution

Nous travaillons de gauche à droite, en changeant chaque soustraction en « ajoutant le contraire ».

[ egin{aligned} -5-(-8) -7=-5+8+(-7) ~ & extcolor{red}{ ext{ Ajoute l'opposé de } -8, ext{ qui est 8.}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Ajoutez l'opposé de 7, qui est } -7.} =3 +(-7) & extcolor{red}{ ext{ Fonctionnant de gauche à droite, } -5+8=3.} =-4 ~ & extcolor{red}{3 +(-7) = -4.} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier : -3 − (−9) − 11.

Réponse

−5

Les symboles de regroupement disent "faites-moi d'abord".

Exemple (PageIndex{1})

Simplifier −2 − (−2 − 4).

Solution

Les expressions entre parenthèses doivent être évaluées en premier.

[ egin{aligned} -2(-2-4)=-2-(-2+(-4)) ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplifier l'expression entre parenthèses}} ~ & textcolor{red}{ ext{ d'abord. Ajoutez l'opposé de 4, qui est } -4.} = -2 -(-6) ~ & extcolor{red}{ ext{ A l'intérieur des parenthèses, } -2 + (-4) = -6. } =-2 + 6 ~ & extcolor{red}{ ext{ Soustraire un } -6 ext{ revient à ajouter un 6.}} =4 ~ & ~ extcolor{red}{ ext{ Ajouter : } -2 + 6 = 4.} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier : −3 − (−3 − 3).

Réponse

3

Le changement comme différence

Supposons que lorsque je quitte ma maison tôt le matin, la température extérieure est de 40 Fahrenheit. Plus tard dans la journée, la température mesure 60◦ Fahrenheit. Comment mesurer le changement de température ?

Le changement d'une quantité

Pour mesurer la variation d'une quantité, soustrayez toujours le ancien mesure de la dernier la mesure. C'est-à-dire:

[ colorbox{cyan}{Modification d'une quantité} = colorbox{cyan}{Dernière mesure} - colorbox{cyan}{Ancienne mesure} onumber ]

Ainsi, pour mesurer la variation de température, j'effectue une soustraction comme suit :

[ egin{aligned} colorbox{cyan}{Changement de température} & = colorbox{cyan}{Dernière mesure} & - & colorbox{cyan}{Ancienne mesure} ~ & = 60^{ circ } ext{F} & - & 40^{ circ} ext{F} ~ & = 20^{ circ} ext{F} end{aligned} onumber ]

Notez que la réponse positive est en accord avec le fait que la température a augmenté.

Exemple 4

Supposons que l'après-midi, la température mesure 65Fahrenheit, puis en fin de soirée la température descend à 44 Fahrenheit. Trouvez le changement de température.

Solution

Pour mesurer le changement de température, il faut soustraire la première mesure de la dernière mesure.

[ egin{aligned} colorbox{cyan}{Changement de température} & = colorbox{cyan}{Dernière mesure} & - & colorbox{cyan}{Ancienne mesure} ~ & = 44^{ circ } ext{F} & - & 65^{ circ} ext{F} ~ & = -11^{ circ} ext{F} end{aligned} onumber ]

Notez que la réponse négative est en accord avec le fait que la température a diminué. Il y a eu un « changement » de -11 Fahrenheit.

Exercer

Marianne se réveille avec une température matinale de 54 Fahrenheit. Une tempête frappe, faisant chuter la température à 43 Fahrenheit. Trouvez le changement de température.

Réponse

-11◦ Fahrenheit

Exemple 5

Parfois, un graphique à barres n'est pas la visualisation la plus appropriée pour vos données. Par exemple, considérons le graphique à barres de la figure (PageIndex{3}) illustrant la moyenne industrielle Dow pendant sept jours consécutifs en mars 2009. Étant donné que les barres sont de hauteur presque égale, il est difficile de détecter une fluctuation ou un changement dans la moyenne industrielle Dow.

Déterminons l'évolution de la moyenne industrielle du Dow au jour le jour. N'oubliez pas de soustraire cette dernière mesure moins la première (jour actuel moins jour précédent). Cela nous donne les changements suivants.

Jours consécutifsVariation de la moyenne industrielle du Dow Jones
Dim-Lun6900 - 7000 = -100
Lun-Mar6800 - 6900 = -100
mar-mer6800 - 6800 = 0
Mer-Jeu7000 - 6800 = 200
jeu-ven7100 - 7000 = 100
ven-sam7200 - 7100 = 100

Nous utiliserons les données du tableau pour construire un graphique linéaire. Sur l'axe horizontal, on place les couples de jours consécutifs (voir Figure (PageIndex{4})). Sur l'axe vertical, nous plaçons la variation de la moyenne industrielle du Dow Jones. À chaque paire de jours, nous traçons un point à une hauteur égale à la variation du Dow Industrial Average telle que calculée dans notre tableau.

Notez que les données affichées par la figure (PageIndex{4}) montrent plus facilement les changements de la moyenne industrielle Dow au jour le jour. Par exemple, il est désormais facile de choisir le jour qui a vu la plus forte hausse du Dow (de mercredi à jeudi, le Dow a augmenté de 200 points).

Des exercices

Dans les exercices 1-24, trouvez la différence.

1. 16 − 20

2. 17 − 2

3. 10 − 12

4. 16 − 8

5. 14 − 11

6. 5 − 8

7. 7 − (−16)

8. 20 − (−10)

9. −4 − (−9)

10. −13 − (−3)

11. 8 − (−3)

12. 14 − (−20)

13. 2 − 11

14. 16 − 2

15. −8 − (−10)

16. −14 − (−2)

17. 13 − (−1)

18. 12 − (−13)

19. −4 − (−2)

20. −6 − (−8)

21. 7 − (−8)

22. 13 − (−14)

23. −3 − (−10)

24. −13 − (−9)


Dans les exercices 25-34, simplifiez l'expression donnée.

25. 14 − 12 − 2

26. −19 − (−7) − 11

27. −20 − 11 − 18

28. 7 − (−13) − (−1)

29. 5 − (−10) − 20

30. −19 − 12 − (−8)

31. −14 − 12 − 19

32. −15 − 4 − (−6)

33. −11 − (−7) − (−6)

34. 5 − (−5) − (−14)


Dans les exercices 35-50, simplifiez l'expression donnée.

35. −2 − (−6 − (−5))

36. 6 − (−14 − 9)

37. (−5 − (−8)) − (−3 − (−2))

38. (−6 − (−8)) − (−9 − 3)

39. (6 − (−9)) − (3 − (−6))

40. (−2 − (−3)) − (3 − (−6))

41. −1 − (10 − (−9))

42. 7 − (14 − (−8))

43. 3 − (−8 − 17)

44. 1 − (−1 − 4)

45. 13 − (16 − (−1))

46. −7 − (−3 − (−8))

47. (7 − (−8)) − (5 − (−2))

48. (6 − 5) − (7 − 3)

49. (6 − 4) − (−8 − 2)

50. (2 − (−6)) − (−9 − (−3))


51. La première température enregistrée est 42F. Quatre heures plus tard, la deuxième température est de 65F. Quel est le changement de température ?

52. La première température enregistrée est 79F. Quatre heures plus tard, la deuxième température est de 46F. Quel est le changement de température ?

53. La première température enregistrée est 30F. Quatre heures plus tard, la deuxième température est de 51F. Quel est le changement de température ?

54. La première température enregistrée est 109F. Quatre heures plus tard, la deuxième température est de 58F. Quel est le changement de température ?

55. Les températures typiques à Fairbanks, en Alaska, en janvier sont de -2 degrés Fahrenheit le jour et de -19 degrés Fahrenheit la nuit. Quelle est la variation de température du jour à la nuit ?

56. Les températures estivales typiques à Fairbanks, en Alaska, en juillet sont de 79 degrés Fahrenheit le jour et de 53 degrés Fahrenheit la nuit. Quelle est la variation de température du jour à la nuit ?

57. La communication. Un sous-marin à 1600 pieds au-dessous du niveau de la mer communique avec un pilote volant à 22 500 pieds dans les airs directement au-dessus du sous-marin. Quelle est la distance parcourue par le communiqué ?

58. Du plus haut au plus bas. Le point le plus élevé de la planète se trouve sur le mont Everest au Népal-Tibet à 8 848 mètres. Le point le plus bas de la croûte terrestre est la fosse des Mariannes dans l'océan Pacifique Nord à 10 923 mètres sous le niveau de la mer. Quelle est la distance entre le point le plus haut et le point le plus bas de la Terre ? Wikipédia http://en.Wikipedia.org/wiki/Extremes_on_Earth

59. Élévation la plus basse. Le point le plus bas en Amérique du Nord est Death Valley, en Californie, à -282 pieds. Le point le plus bas de toute la masse continentale de la terre se trouve sur les rives de la mer Morte le long de la frontière israélo-jordanienne avec une altitude de -1 371 pieds. Combien plus bas est le rivage de la mer Morte depuis la Vallée de la Mort ?

60. Notes d'examen. Les scores de Freida à ses sept premiers examens de mathématiques sont indiqués dans le graphique à barres suivant. Calculez les différences entre des examens consécutifs, puis créez un graphique linéaire des différences sur chaque paire d'examens consécutifs. Entre quelles deux paires d'examens consécutifs Freida a-t-elle le plus progressé ?


Réponses

1. −4

3. −2

5. 3

7. 23

9. 5 11. 11 13. −9 15. 2 17. 14 19. −2 21. 15 23. 7 25. 0 27. −49 29. −5 31. −45 33. 2 35. −1 37. 4 39. 6 41. −20 43. 28 45. −4 47. 8 49. 12 51. 23◦ F 53. 21◦ F 55. −17 degrés Fahrenheit 57. 24 100 pieds 59. 1089 pieds plus bas


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