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4: La dérivée - Mathématiques


4: La dérivée - Mathématiques

4: La dérivée - Mathématiques

Dans la première section du chapitre Limites, nous avons vu que le calcul de la pente d'une ligne tangente, le taux de changement instantané d'une fonction et la vitesse instantanée d'un objet à (x = a) nous obligeaient tous à calculer la limite suivante.

Nous avons également vu qu'avec un petit changement de notation cette limite pourrait également être écrite comme,

C'est une limite tellement importante et elle se pose à tellement d'endroits que nous lui donnons un nom. Nous l'appelons un dérivé. Voici la définition officielle de la dérivée.

Définition du dérivé

Notez que nous avons remplacé tous les uneest dans (eqref) avec XC'est reconnaître le fait que la dérivée est aussi en réalité une fonction. On « lit » souvent (f'left( x ight)) comme «F premier de X”.

Calculons quelques dérivées en utilisant la définition.

Donc, tout ce que nous avons vraiment besoin de faire est de brancher cette fonction dans la définition de la dérivée, (eqref), et faites un peu d'algèbre. Certes, l'algèbre deviendra parfois un peu désagréable, mais ce n'est que de l'algèbre, alors ne vous réjouissez pas du fait que nous calculons maintenant des dérivés.

Insérez d'abord la fonction dans la définition de la dérivée.

Soyez prudent et assurez-vous de bien gérer les parenthèses lors de la soustraction.

Maintenant, nous savons depuis le chapitre précédent que nous ne pouvons pas simplement brancher (h = 0) car cela nous donnera une division par zéro erreur. Donc, nous allons devoir faire quelques travaux. Dans ce cas, cela signifie tout multiplier et distribuer le signe moins jusqu'au deuxième terme. Faire cela donne,

Notez que chaque terme du numérateur qui n'avait pas de h il s'est annulé et nous pouvons maintenant prendre en compte un h hors du numérateur qui s'annulera contre le h au dénominateur. Après cela, nous pouvons calculer la limite.

Celui-ci va être un peu plus compliqué en ce qui concerne l'algèbre. Cependant, en dehors de cela, cela fonctionnera exactement de la même manière que les exemples précédents. Tout d'abord, nous branchons la fonction dans la définition de la dérivée,

Notez que nous avons modifié toutes les lettres de la définition pour qu'elles correspondent à la fonction donnée. Notez également que nous avons écrit la fraction de manière beaucoup plus compacte pour nous aider dans le travail.

Comme pour le premier problème, nous ne pouvons pas simplement brancher (h = 0). Il va donc falloir simplifier un peu les choses. Dans ce cas, nous devrons combiner les deux termes du numérateur en une seule expression rationnelle comme suit.

Avant de terminer, notons quelques points. Premièrement, nous n'avons pas multiplié le dénominateur. Multiplier le dénominateur ne fera que compliquer excessivement les choses, alors restons simples. Ensuite, comme pour le premier exemple, après la simplification, nous n'avons que des termes avec hest en eux laissé dans le numérateur et nous pouvons maintenant annuler un h en dehors.

Ainsi, lors de l'annulation de la h nous pouvons évaluer la limite et obtenir la dérivée.

Branchez d'abord la définition de la dérivée comme nous l'avons fait avec les deux exemples précédents.

Dans ce problème, nous allons devoir rationaliser le numérateur. Vous vous souvenez de la rationalisation d'une classe d'algèbre, non? Dans une classe d'algèbre, vous n'avez probablement rationalisé que le dénominateur, mais vous pouvez également rationaliser les numérateurs. Rappelez-vous qu'en rationalisant le numérateur (dans ce cas), nous multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur par le numérateur, sauf que nous changeons le signe entre les deux termes. Voici le travail de rationalisation de ce problème,

Encore une fois, après la simplification, nous n'avons que hreste dans le numérateur. Alors, annulez le h et évaluer la limite.

Et donc nous obtenons une dérivée de,

Travaillons un autre exemple. Celui-ci sera un peu différent, mais il y a un point qui doit être fait.

Étant donné que ce problème demande la dérivée à un point spécifique, nous allons continuer et l'utiliser dans notre travail. Cela nous facilitera la vie et c'est toujours une bonne chose.

Alors, branchez-vous sur la définition et simplifiez.

Nous avons vu une situation comme celle-ci à l'époque où nous examinions les limites à l'infini. Comme dans cette section, nous ne pouvons pas simplement annuler le h's. Nous devrons regarder les deux limites unilatérales et rappeler que

Les deux limites unilatérales sont différentes et donc

n'existe pas. Cependant, c'est la limite qui nous donne la dérivée que nous recherchons.

Si la limite n'existe pas, la dérivée n'existe pas non plus.

Dans cet exemple, nous avons enfin vu une fonction pour laquelle la dérivée n'existe pas en un point. C'est une réalité de la vie dont nous devons être conscients. Les dérivés n'existeront pas toujours. Notez également que cela ne dit rien sur l'existence ou non de la dérivée ailleurs. En fait, la dérivée de la fonction valeur absolue existe en tout point sauf celui que nous venons d'examiner, (x = 0).

La discussion précédente conduit à la définition suivante.

Définition

Une fonction (fleft( x ight)) est appelée différenciable à (x = a) si (f'left( a ight)) existe et (fleft( x ight)) est dit dérivable sur un intervalle si la dérivée existe pour chaque point de cet intervalle.

Le théorème suivant nous montre une très belle relation entre les fonctions continues et celles qui sont dérivables.

Théorème

Si (fleft( x ight)) est dérivable en (x = a) alors (fleft( x ight)) est continu en (x = a).

Notez que ce théorème ne fonctionne pas à l'envers. Considérez (fleft( x ight) = left| x ight|) et regardez,

[mathop limits_ fleft( x ight) = mathop limits_ gauche| x droit| = 0 = fgauche( 0 droit)]

Ainsi, (fleft( x ight) = left| x ight|) est continu en (x = 0) mais nous venons de montrer ci-dessus dans l'exemple 4 que (fleft( x ight) = left| x ight|) n'est pas différentiable en (x = 0).

Notation alternative

Ensuite, nous devons discuter d'une autre notation pour la dérivée. La notation dérivée typique est la notation « prime ». Cependant, il y a une autre notation qui est utilisée à l'occasion, alors couvrons cela.

Étant donné une fonction (y = fleft( x ight)) tous les éléments suivants sont équivalents et représentent la dérivée de (fleft( x ight)) par rapport à X.

Parce que nous avons également besoin d'évaluer des dérivés à l'occasion, nous avons également besoin d'une notation pour évaluer les dérivés lors de l'utilisation de la notation fractionnaire. Donc, si nous voulons évaluer la dérivée à (x = a), tous les éléments suivants sont équivalents.

Notez également qu'à l'occasion nous laisserons tomber la partie (left( x ight)) sur la fonction pour simplifier quelque peu la notation. Dans ces cas, les éléments suivants sont équivalents.

Comme note finale dans cette section, nous reconnaîtrons que le calcul de la plupart des dérivés directement à partir de la définition est un processus assez complexe (et parfois douloureux) rempli d'opportunités de faire des erreurs. Dans quelques sections, nous commencerons à développer des formules et/ou des propriétés qui nous aideront à prendre la dérivée de nombreuses fonctions communes afin que nous n'ayons pas besoin de recourir trop souvent à la définition de la dérivée.

Cela ne veut pas dire pour autant qu'il n'est pas important de connaître la définition de la dérivée ! C'est une définition importante que nous devons toujours connaître et garder à l'esprit. C'est juste quelque chose avec lequel nous n'allons pas beaucoup travailler.


Premier dérivé

Considérons la fonction $ f(x) = 3x^4-4x^3-12x^2+3 $ sur l'intervalle $[-2,3]$. Nous ne pouvons pas trouver des régions dont $f$ augmente ou diminue, des maxima ou des minima relatifs, ou la valeur absolue maximale ou minimale de $f$ sur $[-2,3]$ par inspection. La représentation graphique à la main est fastidieuse et imprécise. Même l'utilisation d'un programme graphique ne nous donnera qu'une approximation des emplacements et des valeurs des maxima et des minima. Cependant, nous pouvons utiliser la dérivée première de $f$ pour trouver toutes ces choses rapidement et facilement.

Soit $f$ défini sur un intervalle $I$. Soit $x_1 in I$ et $x_2 in I$.

Alors $f$ est en augmentant sur $I$ si $x_1 < x_2$ implique $f(x_1) < f(x_2)$.

La fonction $f$ est décroissant sur $I$ si $x_1 < x_2$ implique $f(x_1) > f(x_2)$.

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et dérivable à l'intérieur de $I$.

  • Si $f'(x) > 0$ pour tout $x in I$, alors $f$ est en augmentant sur $I$.
  • Si $f'(x) < 0$ pour tout $x in I$, alors $f$ est décroissant sur $I$.
Exemple

La fonction $f(x) = 3x^4-4x^3-12x^2+3$ a la première dérivée egin f'(x) & = & 12x^3 – 12x^2 -24x & = & 12x(x^2 -x – 2) & = & 12x(x+1)(x- 2). finir Ainsi, $f(x)$ est croissant sur $(-1,0) cup (2, infty)$ et décroissant sur $(-infty,-1) cup (0,2)$.

Une fonction $f$ a un maximum relatif (ou local) à $x_0$ si $f(x_0) geq f(x)$ pour tout $x$ dans un intervalle ouvert contenant $x_0$. La fonction a un minimum relatif ou local à $x_0$ si $f(x_0) leq f(x)$ pour tout $x$ dans un intervalle ouvert contenant $x_0$.

Les maxima et minima relatifs sont appelés extrema relatif.

Les extrema relatifs de $f$ se produisent à points critiques de $f$, les valeurs $x_0$ pour lesquelles soit $f'(x_0)= 0$ soit $f'(x_0)$ est indéfini.

Premier test de dérivée

Supposons que $f$ soit continu en un point critique $x_0$.

  • Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle ouvert s'étendant à gauche de $x_0$ et $f'(x) < 0$ sur un intervalle ouvert s'étendant à droite de $x_0$, alors $f$ a un maximum relatif à $x_0$.
  • Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle ouvert s'étendant à gauche de $x_0$ et $f'(x) > 0$ sur un intervalle ouvert s'étendant à droite de $x_0$, alors $f$ a un minimum relatif à $x_0$.
  • Si $f'(x)$ a le même signe sur un intervalle ouvert s'étendant à gauche à partir de $x_0$ et un intervalle ouvert s'étendant à droite à partir de $x_0$, alors $f$ n'a pas d'extremum relatif à $x_0$.

En résumé, des extrema relatifs se produisent lorsque $f'(x)$ change de signe.

Exemple

Notre fonction $f(x) = 3x^4-4x^3-12x^2+3$ est dérivable partout sur $[-2,3]$, avec $f'(x) = 0$ pour $x=- 1,0,2$. Ce sont les trois points critiques de $f$ sur $[-2,3]$. Par le premier test de dérivée, $f$ a un maximum relatif à $x=0$ et des minima relatifs à $x=-1$ et $x=2$.

Si $f(x_0) geq f(x)$ pour tous les $x$ dans un intervalle $I$, alors $f$ atteint son maximum absolu plus de $I$ à $x_0$.

Si $f(x_0) leq f(x)$ pour tout x dans un intervalle $I$, alors $f$ atteint son minimum absolu plus de $I$ à $x_0$.

Les maxima absolus et les minima absolus sont souvent appelés simplement maxima et minima et sont collectivement appelés valeurs extrêmes de $f$.

  • Si $f$ a une valeur extrême sur un ouvert intervalle, alors la valeur extrême se produit à un point critique de $f$.
  • Si $f$ a une valeur extrême sur un fermé intervalle, alors la valeur extrême se produit soit à un point critique, soit à un point final.

Théorème des valeurs extrêmes

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé, alors elle atteint à la fois un maximum absolu et un minimum absolu sur l'intervalle.

Exemple

Puisque $f(x) = 3x^4-4x^3-12x^2+3$ est continu sur $[-2,3]$, $f$ doit avoir un maximum absolu et un minimum absolu sur $[-2 ,3]$. Il suffit de vérifier la valeur de $f$ aux points critiques $x=-1,0,2$ et aux extrémités $x=-2$ et $x=3$ : egin f(-2) & = & 35, f(-1) & = & -2, f(0) & = & 3, f(2) & = & -29, f( 3) & = & 30. end Ainsi, sur $[-2,3]$, $f(x)$ atteint une valeur maximale de 35 à $x=-2$ et une valeur minimale de -29 à $x=2$.

Nous avons découvert beaucoup de choses sur la forme de $f(x) = 3x^4-4x^3-12x^2+3$ sans jamais la représenter graphiquement ! Maintenant, regardez le graphique et vérifiez chacune de nos conclusions.

Concepts clés

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et dérivable à l'intérieur de $I$. Si $f'(x) > 0$ pour tout $x in I$, alors $f$ est en augmentant sur $I$. Si $f'(x) < 0$ pour tout $x in I$, alors $f$ est décroissant sur $I$.

Par le premier test de dérivée, des extrema relatifs se produisent lorsque $f'(x)$ change de signe.

Si $f$ a une valeur extrême sur un intervalle fermé, alors la valeur extrême se produit soit à un point critique, soit à un point final.


Test dérivé

De nombreuses applications du calcul nous obligent à déduire des faits sur une fonction F à partir des informations concernant ses dérivés. Depuis F &lsquo (X) représente la pente de la courbe oui = F(X) à ce point (X, F(X)), il nous indique la direction dans laquelle la courbe se déroule en chaque point.

Test croissant / décroissant

Trouver où la fonction F(X) = X 3 &ndash 12X + 1 est croissant et où il décroît.

Étape 1: Trouver la dérivée de F

Étape 2: Régler F &lsquo(X) = 0 pour obtenir les nombres critiques

Étape 3: Définissez des intervalles dont les points finaux sont les nombres critiques et déterminez le signe de F &lsquo(X) pour chacun des intervalles. Utilisez le test croissant/décroissant pour déterminer si F(X) est croissante ou décroissante pour chaque intervalle.

Le premier test dérivé

Supposer que c est un nombre critique d'une fonction continue F.

1. Si F &lsquo passe de positif à négatif à c, ensuite F a un maximum local à c.
2. Si F &lsquo passe de négatif à positif à c, ensuite F a un minimum local à c.
3. Si F &lsquo ne change pas de signe à c (F &lsquo est positif des deux côtés de c ou alors F &lsquo est négatif des deux côtés), alors F n'a pas de maximum ou de minimum local à c.

Trouver les valeurs locales maximales et minimales de la fonction F(X) = X 4 &ndash 2X 2 + 3

Étape 1: Trouver la dérivée de F

Étape 2: Régler F &lsquo(X) = 0 pour obtenir les nombres critiques

Étape 3: Définissez des intervalles dont les points finaux sont les nombres critiques et déterminez le signe de F &lsquo(X) pour chacun des intervalles.

Étape 4: Utilisez le test de la dérivée première pour trouver les valeurs maximales et minimales locales.

F &lsquo(X) passe de négatif à positif à X = &ndash1, le premier test de dérivée nous dit qu'il existe un minimum local à X = &ndash1.
F (&ndash1) = 2 est la valeur minimale locale.

F &lsquo(X) passe de positif à négatif à X = 0, le premier test de dérivée nous dit qu'il existe un maximum local à X = 0.
F (0) = 3 est la valeur maximale locale.

F &lsquo(X) passe de négatif à positif à X = 1, le premier test de dérivée nous dit qu'il existe un minimum local à X = 1.
F (1) = 2 est la valeur minimale locale.

Le deuxième test dérivé

Nous pouvons également utiliser le Second Derivative Test pour déterminer les valeurs maximales ou minimales.

Le deuxième test dérivé

Utilisez le deuxième test de dérivée pour trouver les valeurs locales maximales et minimales de la fonction F(X) = X 4 &ndash 2X 2 + 3

Étape 1: Trouver la dérivée de F

Étape 2: Régler F &lsquo(X) = 0 pour obtenir les nombres critiques

Étape 3: Trouver la dérivée seconde

Étape 4: Évaluer F &lsquo&rsquoter les nombres critiques

F &lsquo&rsquo(&ndash1) = 8 > 0, donc F (&ndash1) = 2 est la valeur minimale locale.
F &lsquo&rsquo(0) = &ndash 4 < 0, donc F (0) = 2 est la valeur maximale locale.
F &lsquo&rsquo(1) = 8 > 0, donc F (1) = 2 est la valeur minimale locale.

Vidéos - Maxima et Minima relatifs

Maxima et minima relatifs (maxima et minima locaux)
Trouver les maxima et minima relatifs d'une fonction peut être fait en regardant un graphique de la fonction. Un maximum relatif est un point qui est plus haut que les points directement à côté de lui des deux côtés, et un minimum relatif est un point qui est inférieur aux points directement à côté de lui des deux côtés. Les maxima et minima relatifs sont des points importants dans l'esquisse de courbe, et ils peuvent être trouvés par le premier ou le deuxième test de dérivée.

Premier test de dérivée pour le maximum et le minimum relatifs

Concavité et points d'inflexion

Deuxième test de dérivée pour le maximum et le minimum relatifs

Le test de la dérivée seconde est utile lorsque vous essayez de trouver un maximum ou un minimum relatif si une fonction a une dérivée première qui est nulle à un certain point. Étant donné que le test de dérivée première échoue à ce stade, le point est un point d'inflexion. Le test de la dérivée seconde repose sur le signe de la dérivée seconde à ce point. S'il est positif, le point est un minimum relatif, et s'il est négatif, le point est un maximum relatif.

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Exercices 2.4

Exemple 2.4.1 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=sqrt<169-x^2>$. (réponse)

Exemple 2.4.2 Trouvez la dérivée de $ds y=f(t)=80-4.9t^2$. (réponse)

Exemple 2.4.3 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=x^2-(1/x)$. (réponse)

Exemple 2.4.4 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)= ax^2+bx+c$ (où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes). (réponse)

Exemple 2.4.5 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=x^3$. (réponse)

Exemple 2.4.6 Le graphique d'une fonction $f(x)$ est montré. Tracez le graphe de $f'(x)$ en estimant la dérivée en un certain nombre de points de l'intervalle : estimez la dérivée à intervalles réguliers d'un bout à l'autre de l'intervalle, ainsi qu'à des points "spéciaux", comme lorsque la dérivée est nulle. Assurez-vous d'indiquer tous les endroits où la dérivée n'existe pas.

Exemple 2.4.7 Le graphique d'une fonction $f(x)$ est montré. Tracez le graphe de $f'(x)$ en estimant la dérivée en un certain nombre de points de l'intervalle : estimez la dérivée à intervalles réguliers d'un bout à l'autre de l'intervalle, ainsi qu'à des points "spéciaux", comme lorsque la dérivée est nulle. Assurez-vous d'indiquer tous les endroits où la dérivée n'existe pas.

Exemple 2.4.8 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=2/sqrt<2x+1>$ (réponse)

Exemple 2.4.9 Trouvez la dérivée de $y=g(t)=(2t-1)/(t+2)$ (réponse)

Exemple 2.4.10 Trouvez une équation pour la ligne tangente au graphique de $ds f(x)=5-x-3x^2$ au point $x=2$ (réponse)

Exemple 2.4.11 Trouvez une valeur pour $a$ de sorte que le graphique de $ds f(x)=x^2+ax-3$ ait une tangente horizontale à $x=4$. (réponse)


Exercices 2.4

Exemple 2.4.1 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=sqrt<169-x^2>$. (réponse)

Exemple 2.4.2 Trouvez la dérivée de $ds y=f(t)=80-4.9t^2$. (réponse)

Exemple 2.4.3 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=x^2-(1/x)$. (réponse)

Exemple 2.4.4 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)= ax^2+bx+c$ (où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes). (réponse)

Exemple 2.4.5 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=x^3$. (réponse)

Exemple 2.4.6 Le graphique d'une fonction $f(x)$ est montré. Tracez le graphe de $f'(x)$ en estimant la dérivée en un certain nombre de points de l'intervalle : estimez la dérivée à intervalles réguliers d'un bout à l'autre de l'intervalle, ainsi qu'à des points "spéciaux", comme lorsque la dérivée est nulle. Assurez-vous d'indiquer tous les endroits où la dérivée n'existe pas.

Exemple 2.4.7 Le graphique d'une fonction $f(x)$ est montré. Tracez le graphe de $f'(x)$ en estimant la dérivée en un certain nombre de points de l'intervalle : estimez la dérivée à intervalles réguliers d'un bout à l'autre de l'intervalle, ainsi qu'à des points "spéciaux", comme lorsque la dérivée est nulle. Assurez-vous d'indiquer tous les endroits où la dérivée n'existe pas.

Exemple 2.4.8 Trouvez la dérivée de $ds y=f(x)=2/sqrt<2x+1>$ (réponse)

Exemple 2.4.9 Trouvez la dérivée de $y=g(t)=(2t-1)/(t+2)$ (réponse)

Exemple 2.4.10 Trouvez une équation pour la ligne tangente au graphique de $ds f(x)=5-x-3x^2$ au point $x=2$ (réponse)

Exemple 2.4.11 Trouvez une valeur pour $a$ de sorte que le graphique de $ds f(x)=x^2+ax-3$ ait une tangente horizontale à $x=4$. (réponse)


4: La dérivée - Mathématiques

Dans ce chapitre, nous commencerons à examiner le prochain sujet majeur dans une classe de calcul, les dérivées. Ce chapitre est consacré presque exclusivement à la recherche de dérivés. Nous en examinerons une application dans ce chapitre. Nous laisserons la plupart des applications des dérivés au chapitre suivant.

Voici une liste des sujets abordés dans ce chapitre.

La définition de la dérivée - Dans cette section, nous définissons la dérivée, donnons diverses notations pour la dérivée et travaillons quelques problèmes illustrant comment utiliser la définition de la dérivée pour calculer réellement la dérivée d'une fonction.

Interprétation de la dérivée – Dans cette section, nous donnons plusieurs des interprétations les plus importantes de la dérivée. Nous discutons du taux de changement d'une fonction, de la vitesse d'un objet en mouvement et de la pente de la ligne tangente à un graphique d'une fonction.

Formules de différenciation – Dans cette section, nous donnons la plupart des formules et propriétés générales de dérivées utilisées pour prendre la dérivée d'une fonction. Les exemples de cette section se concentrent principalement sur les polynômes, les racines et plus généralement les variables élevées à des puissances.

Règle de produit et de quotient - Dans cette section, nous donnerons deux des formules les plus importantes pour différencier les fonctions. Nous discuterons de la règle du produit et de la règle du quotient nous permettant de différencier des fonctions que, jusqu'à présent, nous ne pouvions pas différencier.

Dérivées des fonctions trigonométriques - Dans cette section, nous discuterons de la différenciation des fonctions trigonométriques. Les dérivées des six fonctions trigonométriques sont données et nous montrons la dérivation de la dérivée de (sin(x)) et ( an(x)).

Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques – Dans cette section, nous dérivons les formules des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques.

Dérivées des fonctions trigonométriques inverses – Dans cette section, nous donnons les dérivées des six fonctions trigonométriques inverses. Nous montrons la dérivation des formules pour le sinus inverse, le cosinus inverse et la tangente inverse.

Dérivées des fonctions hyperboliques - Dans cette section, nous définissons les fonctions hyperboliques, donnons les relations entre elles et certains des faits de base impliquant les fonctions hyperboliques. Nous donnons également les dérivées de chacune des six fonctions hyperboliques et montrons la dérivation de la formule du sinus hyperbolique.

Règle de la chaîne - Dans cette section, nous discutons de l'une des formules de différenciation les plus utiles et les plus importantes, la règle de la chaîne. Avec la règle de la chaîne en main, nous serons en mesure de différencier une plus grande variété de fonctions. Comme vous le verrez dans le reste de vos cours de calcul, un grand nombre de dérivés que vous prendrez impliqueront la règle de la chaîne !

Différenciation implicite – Dans cette section, nous discuterons de la différenciation implicite. Toutes les fonctions ne peuvent pas être explicitement écrites en termes de variable indépendante, par ex. y = f(x) et pourtant nous aurons encore besoin de savoir ce qu'est f'(x). La différenciation implicite nous permettra de trouver la dérivée dans ces cas. Connaître la différenciation implicite nous permettra de faire l'une des applications les plus importantes des dérivés, les taux liés (la section suivante)./p>

Taux connexes – Dans cette section, nous discuterons de la seule application des dérivés dans cette section, les taux connexes. Dans les problèmes de taux connexes, on nous donne le taux de variation d'une quantité dans un problème et on nous demande de déterminer le taux d'une (ou plusieurs) quantités dans le problème. C'est souvent l'une des sections les plus difficiles pour les étudiants. Nous travaillons pas mal de problèmes dans cette section, donc j'espère qu'à la fin de cette section, vous comprendrez correctement comment ces problèmes fonctionnent.

Dérivés d'ordre supérieur - Dans cette section, nous définissons le concept de dérivés d'ordre supérieur et donnons une application rapide de la dérivée du second ordre et montrons comment fonctionne la différenciation implicite pour les dérivés d'ordre supérieur.


Contenu

La dérivée d'une fonction est alors simplement la pente de cette tangente. [Note 2] Même si la ligne tangente ne touche qu'un seul point au point de tangence, elle peut être approximée par une ligne qui passe par deux points. C'est ce qu'on appelle une ligne sécante. Si les deux points traversés par la ligne sécante sont proches l'un de l'autre, la ligne sécante ressemble beaucoup à la ligne tangente et, par conséquent, sa pente est également très similaire :

pourvu qu'une telle limite existe. [4] [Note 4] Nous avons ainsi réussi à bien définir la dérivée d'une fonction, c'est-à-dire que la « pente de la tangente » a désormais une signification mathématique précise. La différenciation d'une fonction à l'aide de la définition ci-dessus est connue sous le nom de différenciation des premiers principes. Voici une preuve, en utilisant la différenciation des premiers principes, que la dérivée de y = x 2 > est 2 x :

Un concept étroitement lié à la dérivée d'une fonction est sa différentielle. Lorsque X et oui sont des variables réelles, la dérivée de F à X est la pente de la tangente au graphique de F à X . Parce que la source et la cible de F sont unidimensionnels, la dérivée de F est un nombre réel. Si X et oui sont des vecteurs, alors la meilleure approximation linéaire du graphique de F dépend de comment F change dans plusieurs directions à la fois. Prendre la meilleure approximation linéaire dans une seule direction détermine une dérivée partielle, qui est généralement notée ∂oui / ∂X . La linéarisation de F dans toutes les directions à la fois est appelée la dérivée totale.

Le concept de dérivée au sens de ligne tangente est très ancien, familier aux géomètres grecs tels qu'Euclide (vers 300 av. J.-C.), Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) et Apollonius de Perge (vers 262- 190 avant JC). [5] Archimède a également utilisé des indivisibles, bien que ceux-ci aient été principalement utilisés pour étudier les zones et les volumes plutôt que les dérivées et les tangentes (voir La méthode des théorèmes mécaniques).

L'utilisation d'infinitésimaux pour étudier les taux de changement peut être trouvée dans les mathématiques indiennes, peut-être dès 500 après JC, lorsque l'astronome et mathématicien Aryabhata (476-550) a utilisé des infinitésimaux pour étudier l'orbite de la Lune. [6] L'utilisation des infinitésimaux pour calculer les taux de changement a été développée de manière significative par Bhāskara II (1114-1185) en effet, il a été avancé [7] que de nombreuses notions clés du calcul différentiel peuvent être trouvées dans son travail, telles que "Théorème de Rolle". [8]

Le mathématicien islamique, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), dans son Traité des équations, a établi des conditions pour que certaines équations cubiques aient des solutions, en trouvant les maxima des polynômes cubiques appropriés. Il a prouvé, par exemple, que le maximum du cube hache 2 – X 3 se produit lorsque X = 2une/3 , et en a conclu que l'équation hache 2 — X 3 = c a exactement une solution positive quand c = 4une 3 /27 , et deux solutions positives chaque fois que 0 < c < 4une 3 /27 . [9] L'historien des sciences, Roshdi Rashed, [10] a soutenu qu'al-Tūsī doit avoir utilisé la dérivée du cubique pour obtenir ce résultat. La conclusion de Rashed a été contestée par d'autres chercheurs, cependant, qui soutiennent qu'il aurait pu obtenir le résultat par d'autres méthodes qui ne nécessitent pas que la dérivée de la fonction soit connue. [11]

Le développement moderne du calcul est généralement attribué à Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), qui ont fourni des approches indépendantes [12] et unifiées de la différenciation et des dérivés. L'idée clé, cependant, qui leur a valu ce crédit, était le théorème fondamental du calcul reliant la différenciation et l'intégration : cela a rendu obsolète la plupart des méthodes précédentes de calcul des aires et des volumes, [13] qui n'avaient pas été significativement étendus depuis l'époque d'Ibn al. -Haytham (Alhazen). [14] Pour leurs idées sur les dérivés, Newton et Leibniz se sont appuyés sur des travaux antérieurs importants de mathématiciens tels que Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens ( 1629-1695), Blaise Pascal (1623-1662) et John Wallis (1616-1703). Concernant l'influence de Fermat, Newton a écrit une fois dans une lettre que «J'ai eu l'indice de cette méthode [des fluxions] de la manière de Fermat de tracer les tangentes, et en l'appliquant aux équations abstraites, directement et à l'envers, je l'ai généralisée." [15] Isaac Barrow est généralement crédité du développement précoce de la dérivée. [16] Néanmoins, Newton et Leibniz restent des figures clés dans l'histoire de la différenciation, notamment parce que Newton a été le premier à appliquer la différenciation à la physique théorique, tandis que Leibniz a systématiquement développé une grande partie de la notation encore utilisée aujourd'hui.

Depuis le XVIIe siècle, de nombreux mathématiciens ont contribué à la théorie de la différenciation. Au 19ème siècle, le calcul a été mis sur une base beaucoup plus rigoureuse par des mathématiciens tels que Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) et Karl Weierstrass (1815-1897). C'est aussi durant cette période que la différenciation s'est généralisée à l'espace euclidien et au plan complexe.

Optimisation Modifier

Si F est une fonction dérivable sur (ou un intervalle ouvert) et X est un maximum local ou un minimum local de F , alors la dérivée de F à X est zéro. Points où F'(X) = 0 sont appelés points critiques ou alors points fixes (et la valeur de F à X s'appelle un valeur critique). Si F n'est pas supposé être dérivable partout, alors les points auxquels il n'est pas dérivable sont également désignés points critiques.

Si F est deux fois dérivable, alors inversement, un point critique X de F peut être analysé en considérant la dérivée seconde de F à X :

  • s'il est positif, X est un minimum local
  • s'il est négatif, X est un maximum local
  • s'il est nul, alors X peut être un minimum local, un maximum local ou aucun. (Par exemple, F(X) = X 3 a un point critique à X = 0 , mais il n'y a ni maximum ni minimum, alors que F(X) = ± X 4 a un point critique à X = 0 et un minimum et un maximum, respectivement, ici.)

C'est ce qu'on appelle le test de la dérivée seconde. Une approche alternative, appelée test de la dérivée première, consiste à considérer le signe de la F' de chaque côté du point critique.

Prendre des dérivées et résoudre des points critiques est donc souvent un moyen simple de trouver des minima ou des maxima locaux, ce qui peut être utile en optimisation. Par le théorème des valeurs extrêmes, une fonction continue sur un intervalle fermé doit atteindre ses valeurs minimale et maximale au moins une fois. Si la fonction est dérivable, les minima et maxima ne peuvent se produire qu'aux points critiques ou aux extrémités.

Cela a également des applications dans l'esquisse de graphes : une fois que les minima et maxima locaux d'une fonction différentiable ont été trouvés, un tracé approximatif du graphe peut être obtenu à partir de l'observation qu'il augmentera ou diminuera entre les points critiques.

Dans les dimensions supérieures, un point critique d'une fonction à valeur scalaire est un point auquel le gradient est nul. Le test de la dérivée seconde peut encore être utilisé pour analyser les points critiques en considérant les valeurs propres de la matrice hessienne des dérivées partielles secondes de la fonction au point critique. Si toutes les valeurs propres sont positives, alors le point est un minimum local si toutes sont négatives, c'est un maximum local. S'il y a des valeurs propres positives et des valeurs propres négatives, alors le point critique est appelé "point de selle", et si aucun de ces cas ne tient (c'est-à-dire que certaines des valeurs propres sont nulles), le test est considéré comme non concluant.

Calcul des variations Modifier

Un exemple de problème d'optimisation est : Trouver la courbe la plus courte entre deux points sur une surface, en supposant que la courbe doit également se trouver sur la surface. Si la surface est un plan, la courbe la plus courte est une ligne. Mais si la surface est, par exemple, en forme d'œuf, le chemin le plus court n'est pas immédiatement dégagé. Ces chemins sont appelés géodésiques, et l'un des problèmes les plus fondamentaux du calcul des variations est de trouver des géodésiques. Un autre exemple est : Trouvez la plus petite surface de remplissage dans une courbe fermée dans l'espace. Cette surface est appelée surface minimale et elle aussi peut être trouvée en utilisant le calcul des variations.

Physique Modifier

Le calcul est d'une importance vitale en physique : de nombreux processus physiques sont décrits par des équations impliquant des dérivées, appelées équations différentielles. La physique s'intéresse particulièrement à la façon dont les quantités changent et se développent dans le temps, et au concept de "dérivée du temps" — le taux de variation dans le temps — est essentiel pour la définition précise de plusieurs concepts importants. En particulier, les dérivées temporelles de la position d'un objet sont importantes en physique newtonienne :

    est la dérivée (par rapport au temps) du déplacement d'un objet (distance par rapport à la position d'origine) est la dérivée (par rapport au temps) de la vitesse d'un objet, c'est-à-dire la dérivée seconde (par rapport au temps) de la position d'un objet .

Par exemple, si la position d'un objet sur une ligne est donnée par

alors la vitesse de l'objet est

et l'accélération de l'objet est

Équations différentielles Modifier

Une équation différentielle est une relation entre un ensemble de fonctions et leurs dérivées. Une équation différentielle ordinaire est une équation différentielle qui relie les fonctions d'une variable à leurs dérivées par rapport à cette variable. Une équation différentielle partielle est une équation différentielle qui relie les fonctions de plusieurs variables à leurs dérivées partielles. Differential equations arise naturally in the physical sciences, in mathematical modelling, and within mathematics itself. For example, Newton's second law, which describes the relationship between acceleration and force, can be stated as the ordinary differential equation

The heat equation in one space variable, which describes how heat diffuses through a straight rod, is the partial differential equation

Here vous(X,t) is the temperature of the rod at position X and time t et α is a constant that depends on how fast heat diffuses through the rod. (2-3¡)-(3+2)

Mean value theorem Edit

The mean value theorem gives a relationship between values of the derivative and values of the original function. Si F(X) is a real-valued function and une et b are numbers with une < b , then the mean value theorem says that under mild hypotheses, the slope between the two points (une, F(une)) et (b, F(b)) is equal to the slope of the tangent line to F at some point c entre une et b . In other words,

In practice, what the mean value theorem does is control a function in terms of its derivative. For instance, suppose that F has derivative equal to zero at each point. This means that its tangent line is horizontal at every point, so the function should also be horizontal. The mean value theorem proves that this must be true: The slope between any two points on the graph of F must equal the slope of one of the tangent lines of F . All of those slopes are zero, so any line from one point on the graph to another point will also have slope zero. But that says that the function does not move up or down, so it must be a horizontal line. More complicated conditions on the derivative lead to less precise but still highly useful information about the original function.

Taylor polynomials and Taylor series Edit

The derivative gives the best possible linear approximation of a function at a given point, but this can be very different from the original function. One way of improving the approximation is to take a quadratic approximation. That is to say, the linearization of a real-valued function F(X) at the point X0 is a linear polynomial une + b(XX0) , and it may be possible to get a better approximation by considering a quadratic polynomial une + b(XX0) + c(XX0) 2 . Still better might be a cubic polynomial une + b(XX0) + c(XX0) 2 + (XX0) 3 , and this idea can be extended to arbitrarily high degree polynomials. For each one of these polynomials, there should be a best possible choice of coefficients une , b , c , et that makes the approximation as good as possible.

The limit of the Taylor polynomials is an infinite series called the Taylor series. The Taylor series is frequently a very good approximation to the original function. Functions which are equal to their Taylor series are called analytic functions. It is impossible for functions with discontinuities or sharp corners to be analytic moreover, there exist smooth functions which are also not analytic.

Implicit function theorem Edit

Some natural geometric shapes, such as circles, cannot be drawn as the graph of a function. For instance, if F(X, oui) = X 2 + oui 2 − 1 , then the circle is the set of all pairs (X, oui) such that F(X, oui) = 0 . This set is called the zero set of F , and is not the same as the graph of F , which is a paraboloid. The implicit function theorem converts relations such as F(X, oui) = 0 into functions. Il précise que si F is continuously differentiable, then around most points, the zero set of F looks like graphs of functions pasted together. The points where this is not true are determined by a condition on the derivative of F . The circle, for instance, can be pasted together from the graphs of the two functions ± √ 1 - X 2 . In a neighborhood of every point on the circle except (−1, 0) and (1, 0) , one of these two functions has a graph that looks like the circle. (These two functions also happen to meet (−1, 0) and (1, 0) , but this is not guaranteed by the implicit function theorem.)

The implicit function theorem is closely related to the inverse function theorem, which states when a function looks like graphs of invertible functions pasted together.


Pricing

In the arbitrage-free CRR model with p strictly between 0 and 1 and a < r < b according to Acitvity 2 in the previous lesson we obtain the following prices for forwards and European call and put options

for any time t. For instance, consider the market given in Example 3 but with r=0. In this case b=0.01 et a=-0.03. The risk neutral measure is given then by

Consider a European call option with maturity of 2 days (T=2) and strike price K=10*(0.97). The risk neutral measure and possible payoffs of this call option can be included in the binary tree of the stock price as follows

We find then that the price of this European call option is

It is easy to see that the price of a forward contract with the same maturity and same forward price K is given by

By the put-call parity mentioned above we deduce that the price of an European put option with same maturity and same strike is given by

That the call option is more expensive than the put option is due to the fact that in this market, the prices are more likely to go up than down under the risk-neutral probability measure. This does not happen if one considers the initial probabilities p et 1-p.


Voir la vidéo: Terminale Spécialité Maths- dérivée seconde 4 exemples avec exponentielle produit quotient (Décembre 2021).