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10.3.1 : Théorie de base des systèmes linéaires homogènes (exercices)


Q10.3.1

1. Démontrer : Si ({f y}_1), ({f y}_2), …, ({f y}_n) sont des solutions de ({f y}' =A(t){f y}) sur ((a,b)), alors toute combinaison linéaire de ({f y}_1), ({f y}_2), …, ({f y}_n) est aussi une solution de ({f y}'=A(t){f y}) sur ((a,b)).

2. Dans la section 5.1 le Wronskian de deux solutions (y_1) et (y_2) de l'équation scalaire du second ordre

[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0 ag{A}]

a été défini comme

[W=left|egin{array}{cc} y_1&y_2 y'_1&y'_2end{array} ight|. onumber ]

  1. Réécrivez (A) comme un système d'équations du premier ordre et montrez que (W) est le Wronskien (tel que défini dans cette section) de deux solutions de ce système.
  2. Appliquez l'équation 10.3.6 au système dérivé en (a), et montrez que [W(x)=W(x_0)expleft{-int^x_{x_0}{P_1(s)over P_0 (s)}, ds ight}, onumber ] qui est la forme de la formule d'Abel donnée dans le théorème 9.1.3.

3. Dans la section 9.1 le Wronskian de (n) solutions (y_1), (y_2), …, (y_n) de l'équation d'ordre (n-)

[P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+cdots+P_n(x)y=0 ag{A}]

a été défini comme étant

[W=left|egin{array}{cccc} y_1&y_2&cdots&y_n y'_1&y'_2&cdots&y_n' vdots&vdots&ddots&vdots y_1^{(n-1)}&y_2 ^{(n-1)}&cdots&y_n^{(n-1)} end{array} ight|. onumber ]

  1. Réécrivez (A) comme un système d'équations du premier ordre et montrez que (W) est le Wronskien (tel que défini dans cette section) de (n) solutions de ce système.
  2. Appliquez l'équation 10.3.6 au système dérivé en (a), et montrez que [W(x)=W(x_0)expleft{-int^x_{x_0}{P_1(s)over P_0 (s)}, ds ight}, onumber ] qui est la forme de la formule d'Abel donnée dans le théorème 9.1.3.

4. Supposons

[{f y}_1=left[egin{array}{c}{y_{11}}{y_{21}}end{array} ight]quad ext{and} quad {f y}_2=left[egin{array}{c}{y_{12}}{y_{22}}end{array} ight] onumber ]

sont des solutions du système (2 imes 2) ({f y}'=A{f y}) sur ((a,b)), et soit

[Y=left[egin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}{y_{21}}&{y_{22}}end{array} ight ]quad ext{and}quad W=left|egin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}{y_{21}}&{y_{22} }end{tableau} ight| onumber ]

ainsi, (W) est le Wronskien de ({{f y}_1,{f y}_2}).

  1. Déduire de la définition du déterminant que [W'=left|egin{array}{cc} {y'_{11}}&{y'_{12}} {y_{21}}& { y_{22}}end{array} ight| +left|egin{array}{cc} {y_{11}}&{y_{12}} {y'_{21}}&{y'_{22}}end{array} à droite|. onuméro ]
  2. Utilisez l'équation (Y'=A(t)Y) et la définition de la multiplication matricielle pour montrer que [[y'_{11}quad y'_{12}]=a_{11} [y_{ 11}quad y_{12}]+a_{12} [y_{21} quad y_{22}] onumber ] et [[y'_{21}quad y'_{22}]= a_{21} [y_{11}quad y_{12}]+a_{22} [y_{21}quad y_{22}]. onumber ]
  3. Utiliser les propriétés des déterminants pour déduire de (a) et (a) que [left|egin{array}{cc} {y'_{11}}&{y'_{12}} {y_{ 21}}& {y_{22}}end{array} ight|=a_{11}Wquad ext{and} quad left|egin{array}{cc} {y_{11}} &{y_{12}} {y'_{21}}&{y'_{22}}end{array} ight|=a_{22}W. onumber ]
  4. Concluez de (c) que [W'=(a_{11}+a_{22})W, onumber ] et utilisez ceci pour montrer que si (a

5. Supposons que la matrice (nx n) (A=A(t)) soit continue sur ((a,b)). Laisser

[Y= left[egin{array}{cccc} y_{11}&y_{12}&cdots&y_{1n} y_{21}&y_{22}&cdots&y_{2n} vdots& vdots&ddots&vdots y_{n1}&y_{n2}&cdots&y_{nn} end{array} ight], onumber ]

où les colonnes de (Y) sont des solutions de ({f y}'=A(t){f y}). Laisser

[r_i=[y_{i1}, y_{i2}, dots, y_{in}] onumber ]

être la (i)ième ligne de (Y), et soit (W) le déterminant de (Y).

  1. Déduire de la définition du déterminant que [W'=W_1+W_2+cdots+W_n, onumber ] où, pour (1 le m le n), la (i)ème rangée de ( W_m) est (r_i) si (i e m), et (r'_m) si (i=m).
  2. Utilisez l'équation (Y'=A Y) et la définition de la multiplication matricielle pour montrer que [r'_m=a_{m1}r_1+a_{m2} r_2+cdots+a_{mn}r_n. onumber ]
  3. Utiliser les propriétés des déterminants pour déduire de (b) que [det (W_m)=a_{mm}W. onumber ]
  4. Concluez de (a) et (c) que [W'=(a_{11}+a_{22}+cdots+a_{nn})W, onumber ] et utilisez ceci pour montrer que si (a

6. Supposons que la matrice (nfois n) (A) soit continue sur ((a,b)) et que (t_0) soit un point dans ((a,b)). Soit (Y) une matrice fondamentale pour ({f y}'=A(t){f y}) sur ((a,b)).

  1. Montrer que (Y(t_0)) est inversible.
  2. Montrer que si ({f k}) est un (n)-vecteur arbitraire alors la solution du problème de la valeur initiale [{f y}'=A(t){f y}, quad {f y}(t_0)={f k} onumber ] est [{f y}=Y(t)Y^{-1}(t_0){f k}. onumber ]

7. Laissez

[A=left[egin{array}{cc}{2}&{4}{4}&{2}end{array} ight], quad {f y}_1= left[egin{array}{c} e^{6t} e^{6t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{r } e^{-2t} -e^{-2t}end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r}-3 9 end{array} ight]. onumber ]

  1. Vérifiez que ({{f y}_1,{f y}_2}) est un ensemble fondamental de solutions pour ({f y}'=A{f y}).
  2. Résolvez le problème de la valeur initiale [{f y}'=A{f y},quad {f y}(0)={f k}. ag{A}]
  3. Utiliser le résultat de Exercice 10.3.6 (b) pour trouver une formule pour la solution de (A) pour un vecteur initial arbitraire ({f k}).

8. Répétez Exercice 10.3.7 avec

[A=left[egin{array}{cc}{-2}&{-2}{-5}&{1}end{array} ight], quad {f y} _1=left[egin{array}{r} e^{-4t} e^{-4t}end{array} ight], quad {f y}_2=left[ egin {array}{r}-2e^{3t} 5e^{3t}end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 10 -4end{array} ight]. onumber ]

9. Répétez Exercice 10.3.7 avec

[A=left[egin{array}{cc}{-4}&{-10}{3}&{7}end{array} ight], quad {f y}_1 =left[egin{array}{r}-5e^{2t} 3e^{2t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array }{r} 2e^t -e^t end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r}-19 11end{array } ight ]. onumber ]

10. Répéter Exercice 10.3.7 avec

[A=left[egin{array}{cc}{2}&{1}{1}&{2}end{array} ight], quad {f y}_1= left[egin{array}{r} e^{3t} e^{3t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{r }e^t -e^tend{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 2 8 end{array} ight] .pas de numéro ]

11. Laissez

[egin{aligned} A&= left[egin{array}{ccc}{3}&{-1}&{-1}{-2}&{3}&{2}{ 4}&{-1}&{-2}end{array} ight] , {f y}_1&=left[egin{array}{c} e^{2t} 0 e^{2t}end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{c} e^{3t} -e^{3t} e^{3t}end{array} ight], quad {f y}_3=left[egin{array}{c} e^{-t} -3e^{-t} 7e^{-t} end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 2 -7 20end{array} ight ].end{aligned} onumber ]

  1. Vérifiez que ({{f y}_1,{f y}_2,{f y}_3}) est un ensemble fondamental de solutions pour ({f y}'=A{f y}).
  2. Résolvez le problème de la valeur initiale [{f y}'=A{f y}, quad {f y}(0)={f k}. ag{A}]
  3. Utiliser le résultat de Exercice 10.3.6 (b) trouver une formule pour la solution de (A) pour un vecteur initial arbitraire ({f k}).

12. Répétez Exercice 10.3.11 avec

[egin{aligned} A&=left[egin{array}{ccc}{0}&{2}&{2}{2}&{0}&{2}{2}& {2}&{0}end{array} ight], {f y}_1&=left[egin{array}{c}-e^{-2t} 0 e^ {-2t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{c}-e^{-2t} e^{-2t} 0end{array} ight], quad {f y}_3=left[egin{array}{c} e^{4t} e^{4t} e^{4t} end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 0 -9 12end{array} ight].end{aligned} pas de numéro ]

13. Répétez Exercice 10.3.11 avec

[egin{aligned} A&=left[egin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}{0}&{1}&{6}{0} &{0}&{-2}end{array} ight], {f y}_1&=left[egin{array}{c} e^t e^t 0 end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{c} e^{-t} 0 0end{array} ight], quad {f y}_3=left[egin{array}{c} e^{-2t} -2e^{-2t} e^{-2t}end{array} ight] , quad {f k}=left[egin{array}{r} 5 5 -1 end{array} ight].end{aligned} onumber ]

14. Supposons que (Y) et (Z) soient des matrices fondamentales pour le système (n imes n) ({f y}'=A(t){f y}). Puis certaines des quatre matrices (YZ^{-1}), (Y^{-1}Z), (Z^{-1}Y), (ZY^{-1} ) sont nécessairement constantes. Identifiez-les et prouvez qu'elles sont constantes.

15. Supposons que les colonnes d'une matrice (n imes n) (Y) soient des solutions du système (n imes n) ({f y}'=A{f y} ) et (C) est une matrice constante (n imes n).

  1. Montrer que la matrice (Z=YC) satisfait l'équation différentielle (Z'=AZ).
  2. Montrer que (Z) est une matrice fondamentale pour ({f y}'=A(t){f y}) si et seulement si (C) est inversible et (Y) est une matrice fondamentale pour ({f y}'=A(t){f y}).

16. Supposons que la matrice (n imes n) (A=A(t)) soit continue sur ((a,b)) et que (t_0) soit dans ((a,b) ). Pour (i=1), (2), …, (n), soit ({f y}_i) la solution du problème de la valeur initiale ({f y}_i '=A(t){f y}_i,; {f y}_i(t_0)={f e}_i), où

[{f e}_1=left[egin{array}{c} 1 vdotsend{array} ight],quad {f e}_2= left[egin{array}{c} 01 vdotsend{array} ight],quadcdotsquad {f e}_n=left[egin{array }{c} 0 vdots1end{array} ight]; onumber ]

c'est-à-dire que le (j)ème composant de ({f e}_i) est (1) si (j=i), ou (0) si (j e i ).

  1. Montrer que({{f y}_1,{f y}_2,dots,{f y}_n}) est un ensemble fondamental de solutions de ({f y}'=A (t){f y}) sur ((a,b)).
  2. Conclure de (a) et Exercice 10.3.15 que ({f y}'= A(t){f y}) a une infinité d'ensembles fondamentaux de solutions sur ((a,b)).

17. Montrer que (Y) est une matrice fondamentale pour le système ({f y}'=A(t){f y}) si et seulement si (Y^{-1}) est une matrice fondamentale pour ({f y}'=- A^T(t){f y}), où (A^T) désigne la transposée de (A). INDICE: Voir exercice 10.3.11.

18. Soit (Z) la matrice fondamentale du système de coefficients constants ({f y}'=A{f y}) telle que (Z(0)=I).

  1. Montrer que (Z(t)Z(s)=Z(t+s)) pour tout (s) et (t). INDICE: Pour fixe (s) laisser (Gamma _{1}(t)=Z(t)Z(s)) et (Gamma _{2}(t)=Z(t+s)). Montre CA (Gamma _{1}) et (Gamma_{2}) sont les deux solutions du problème de la valeur initiale de la matrice (Gamma '=AGamma , :Gamma (0)=Z(s)). Concluez alors du théorème 10.2.1 que (Gamma _{1}=Gamma _{2}).
  2. Montrer que ((Z(t))^{-1}=Z(-t)).
  3. La matrice (Z) définie ci-dessus est parfois notée (e^{tA}). Discutez de la motivation de cette notation.

Théorie des modèles linéaires

Ce manuel présente une approche unifiée et rigoureuse de la meilleure estimation et prédiction linéaires non biaisées des paramètres et des quantités aléatoires dans les modèles linéaires, ainsi que d'autres théories sur lesquelles repose une grande partie de la méthodologie statistique associée aux modèles linéaires. La caractéristique la plus unique du livre est que chaque concept ou résultat majeur est illustré par un ou plusieurs exemples concrets ou cas particuliers. Les méthodologies couramment utilisées basées sur la théorie sont présentées dans des interludes méthodologiques dispersés tout au long du livre, ainsi qu'une multitude d'exercices qui profiteront aux étudiants et aux instructeurs. Des inverses généralisés sont utilisés partout, de sorte que la matrice du modèle et diverses autres matrices n'ont pas besoin d'avoir un rang complet. L'accent est mis beaucoup plus sur l'estimabilité, les analyses partitionnées de la variance, les moindres carrés contraints, les effets d'une mauvaise spécification du modèle et plus particulièrement la prédiction que dans de nombreux autres manuels sur les modèles linéaires. Ce livre est destiné aux étudiants en master et en doctorat ayant une connaissance de base de la théorie statistique, de l'algèbre matricielle et de l'analyse de régression appliquée, ainsi qu'aux instructeurs de cours sur les modèles linéaires. Les solutions aux exercices du livre sont disponibles dans le volume d'accompagnement Théorie des modèles linéaires - Exercices et solutions du même auteur.


Matrices dans MATLAB

Pour entrer une matrice dans MATLAB, nous utilisons des crochets pour commencer et terminer le contenu de la matrice, et nous utilisons des points-virgules pour séparer les lignes. Les composants d'une même ligne sont séparés par des virgules. Par exemple, la commande

se traduira par l'affectation d'une matrice à la variable A :

Nous pouvons entrer un vecteur colonne en le considérant comme une matrice m×1, donc la commande

se traduira par un vecteur colonne 2×1 :

Il existe de nombreuses propriétés des matrices que MATLAB calculera à l'aide de commandes simples. La plupart de ce matériel est couvert dans Math 20F, mais quelques propriétés de base peuvent nous être utiles pour résoudre des systèmes d'équations différentielles.

Valeurs propres et vecteurs propres

Une valeur propre &lambda pour la matrice UNE est lié à son vecteur propre b par l'équation

MATLAB peut être utilisé pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice à l'aide de la commande eig. Lors de l'application de la commande par elle-même, comme dans eig(A) , MATLAB renverra un vecteur colonne avec les valeurs propres de UNE comme ses composants. Par exemple, avec notre matrice UNE ci-dessus, nous obtenons la sortie suivante :

Si nous voulons aussi que MATLAB calcule les vecteurs propres de UNE , nous devons spécifier deux variables de sortie. La commande et sa sortie sont ci-dessous :

Comme vous pouvez le voir, en utilisant cette commande, nous obtenons deux matrices en sortie. La première matrice, appelée eigvec , a les vecteurs propres de UNE que ses colonnes. La deuxième matrice, eigval , a les valeurs propres de UNE sur sa diagonale principale et des zéros partout ailleurs. Le vecteur propre de la première colonne de eigvec correspond à la valeur propre de la première colonne de eigval , et ainsi de suite.

Laisser B être la matrice.

  1. Définir la matrice B dans MATLAB avec les valeurs ci-dessus. Copiez et collez l'entrée et la sortie de votre commande dans votre document Word.
  2. Utilisez les commandes MATLAB pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice B . Copiez et collez l'entrée et la sortie de votre commande dans votre document Word.

Maintenant que nous avons vu comment utiliser les matrices dans MATLAB, nous devrions être prêts à résoudre des systèmes d'équations tels que (1) ci-dessus.


Mathématiques 22B : Équations différentielles Trimestre de printemps, 2008 Section 2

Les solutions finales sont affichées ci-dessous. Les notes des cours seront affichées d'ici vendredi prochain.

Instructeur

Conférences : MWF 14 h 10-15 h 00, 2205 Haring Hall

  • Dernier jour pour ajouter : mardi 15 avril 2008
  • Dernier jour pour déposer : vendredi 25 avril 2008
  • Dernier cours : mercredi 4 juin 2008
  • Vacances académiques : lundi 26 mai
  • Martha Schott (3229 MSB)
    Heures de bureau : W 9h45– 11h00
  • Josh Oyoung (2232 MSB)
    Heures de bureau: T 14h00-15h15, Je 15h00-16h15

Examens

Milieu 1

  • Seconde. 1.1 : Modèles mathématiques conduisant aux EDO.
  • Seconde. 1.2 : Quelques EDO simples.
  • Seconde. 1.3 : Classification des EDO.
  • Seconde. 2.1 : Méthode du facteur intégrateur pour les EDO linéaires.
  • Seconde. 2.2 : Séparation des variables.
  • Seconde. 2.4 : Théorèmes d'existence/unicité.Principe de superposition pour les EDO linéaires.
  • Seconde. 2.5 : EDO autonomes. Lignes de phase, équilibres et stabilité.

Milieu 2

  • Seconde. 3.1 : EDO homogènes à coefficient constant
    • solutions exponentielles
    • équation caractéristique
    • solution d'EDO homogènes lorsque l'équation caractéristique a des racines réelles distinctes
    • principe de superposition pour les équations homogènes
    • ensembles de solutions fondamentales
    • Wronskiens
    • solution de problèmes de valeur initiale
    • dépendance linéaire et indépendance des fonctions
    • relation entre l'indépendance linéaire et le Wronskian
    • Le théorème d'Abel
    • Nombres complexes
    • Formule d'Euler et exponentielles complexes
    • solution d'EDO homogènes lorsque l'équation caractéristique a des racines complexes
    • solution d'EDO homogènes lorsque l'équation caractéristique a une racine répétée
    • principe de superposition pour les EDO non homogènes
    • expression d'une solution générale d'ODE non homogène en termes de solution particulière et de solutions d'ODE homogène
    • utilisation de la méthode des coefficients indéterminés pour trouver des solutions particulières
    • fréquence naturelle d'une vibration non amortie
    • effets de petits et grands amortissements (vibrations sous-amorties et suramorties)
    • résonance

    Mi-session 2 : Exemples de questions 2 (La question 5 n'est pas représentative)

    Final

    • Seconde. 7.1 : Systèmes linéaires du premier ordre
    • Seconde. 7.2ף.3 : Algèbre linéaire
    • Seconde. 7.4 : Théorie de base des systèmes linéaires
    • Seconde. 7.5 : Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants à valeurs propres réelles
      • points de selle
      • nœuds (stables et instables)
      • points en spirale (stables et instables)
      • centres

      Final : Exemples de questions 2 (Ignorez la question 10 sur la variation des paramètres, que nous n'avons pas couverte ce trimestre)

      Solutions : exemples de questions 2 (Malheureusement, les solutions que j'ai ne correspondent pas exactement aux questions)

      Devoirs

      Note du cours

      Texte pour les mathématiques 22B

      • Équations différentielles du premier ordre
      • Équations linéaires du second ordre
      • Laplace transforme
      • Systèmes linéaires du premier ordre

      Le programme du département donne un aperçu détaillé.

      L'éditeur a un site Web d'accompagnement pour le texte, qui comprend des fichiers Maple, MATLAB et Mathematica pour les ODE, et des informations sur le logiciel d'architecte ODE inclus avec le texte.

      Une ressource supplémentaire pour Math 22B est les conférences de Craig Tracy sur les équations différentielles ordinaires.

      Comptes informatiques

      Je posterai ici quelques fichiers MATLAB simples pour les ODE, ou vous pouvez écrire les vôtres.


      10.3.1 : Théorie de base des systèmes linéaires homogènes (exercices)

      L'un des problèmes les plus importants de l'informatique technique est la résolution de systèmes d'équations linéaires simultanées.

      En notation matricielle, le problème général prend la forme suivante : Soit deux matrices UNE et b, existe-t-il une matrice unique X, pour que UNEX= b ou alors XUNE= b?

      Il est instructif de considérer un exemple 1 par 1. Par exemple, l'équation

      La réponse est, bien évidemment, oui. L'équation a l'unique solution X = 3. La solution s'obtient facilement par division :

      La solution est ne pas ordinairement obtenu en calculant l'inverse de 7, soit 7 𔂿 = 0,142857. puis en multipliant 7 𔂿 par 21. Ce serait plus de travail et, si 7 𔂿 est représenté par un nombre fini de chiffres, moins précis. Des considérations similaires s'appliquent aux ensembles d'équations linéaires avec plus d'une inconnue MATLAB ® résout de telles équations sans calculer l'inverse de la matrice.

      Bien qu'il ne s'agisse pas d'une notation mathématique standard, MATLAB utilise la terminologie de division familière dans le cas scalaire pour décrire la solution d'un système général d'équations simultanées. Les deux symboles de division, sabrer , /, et barre oblique inverse , , correspondent aux deux fonctions MATLAB mrdivide et mldivide . Ces opérateurs sont utilisés pour les deux situations où la matrice inconnue apparaît à gauche ou à droite de la matrice de coefficients :

      Désigne la solution de l'équation matricielle xA = b, obtenu en utilisant mrdivide .

      Désigne la solution de l'équation matricielle Hache = b, obtenu en utilisant mldivide .

      Pensez à « diviser » les deux côtés de l'équation Hache = b ou alors xA = b par UNE. La matrice de coefficients A est toujours au « dénominateur ».

      Les conditions de compatibilité de dimension pour x = A nécessitent que les deux matrices A et b aient le même nombre de lignes. La solution x a alors le même nombre de colonnes que b et sa dimension ligne est égale à la dimension colonne de A . Pour x = b/A , les rôles des lignes et des colonnes sont intervertis.

      En pratique, les équations linéaires de la forme Hache = b surviennent plus fréquemment que ceux de la forme xA = b. Par conséquent, la barre oblique inverse est utilisée beaucoup plus fréquemment que la barre oblique. Le reste de cette section se concentre sur l'opérateur de barre oblique inverse. Les propriétés correspondantes de l'opérateur de barre oblique peuvent être déduites de l'identité :

      La matrice de coefficients A n'a pas besoin d'être carrée. Si A a la taille m-par-m, alors il y a trois cas :

      Système carré. Cherchez une solution exacte.

      Système surdéterminé, avec plus d'équations que d'inconnues. Trouvez une solution des moindres carrés.

      Système sous-déterminé, avec moins d'équations que d'inconnues. Trouver une solution de base avec au plus m composants non nuls.

      L'algorithme mldivide

      L'opérateur mldivide utilise différents solveurs pour gérer différents types de matrices de coefficients. Les différents cas sont diagnostiqués automatiquement en examinant la matrice des coefficients. Pour plus d'informations, consultez la section « Algorithmes » de la page de référence mldivide.

      Solution générale

      La solution générale d'un système d'équations linéaires Hache= b décrit toutes les solutions possibles. Vous pouvez trouver la solution générale en :

      Résolution du système homogène correspondant Hache = 0. Pour ce faire, utilisez la commande null, en tapant null(A) . Cela renvoie une base pour l'espace de solution à Hache = 0. Toute solution est une combinaison linéaire de vecteurs de base.

      Trouver une solution particulière au système non homogène Hache =b.

      Vous pouvez ensuite écrire n'importe quelle solution à Hache= b comme la somme de la solution particulière de Hache =b, de l'étape 2, plus une combinaison linéaire des vecteurs de base de l'étape 1.

      Le reste de cette section décrit comment utiliser MATLAB pour trouver une solution particulière à Hache =b, comme à l'étape 2.

      Systèmes carrés

      La situation la plus courante implique une matrice de coefficients carrée A et un seul vecteur colonne de droite b .

      Matrice de coefficients non singuliers

      Si la matrice A est non singulière, alors la solution, x = A , est de la même taille que b . Par exemple:

      On peut confirmer que A*x est exactement égal à u .

      Si A et b sont carrés et de même taille, x= A est également de cette taille :

      On peut confirmer que A*x est exactement égal à b .

      Ces deux exemples ont des solutions entières exactes. En effet, la matrice de coefficients a été choisie pour être pascal(3) , qui est une matrice de rang complet (non singulier).

      Matrice de coefficients singuliers

      Une matrice carrée UNE est singulier s'il n'a pas de colonnes linéairement indépendantes. Si UNE est singulier, la solution de Hache = b soit n'existe pas, soit n'est pas unique. L'opérateur de barre oblique inverse, A , émet un avertissement si A est presque singulier ou s'il détecte une singularité exacte.

      Si UNE est singulier et Hache = b a une solution, vous pouvez trouver une solution particulière qui n'est pas unique, en tapant

      pinv(A) est une pseudo-inverse de UNE. Si Hache = b n'a pas de solution exacte, alors pinv(A) renvoie une solution des moindres carrés.

      est au singulier, comme vous pouvez le vérifier en tapant

      Depuis UNE n'est pas de rang complet, il a des valeurs singulières égales à zéro.

      Solutions exactes. Pour b =[5212] , l'équation Hache = b a une solution exacte, donnée par

      Vérifiez que pinv(A)*b est une solution exacte en tapant

      Solutions des moindres carrés. Cependant, si b = [360] , Hache = b n'a pas de solution exacte. Dans ce cas, pinv(A)*b renvoie une solution des moindres carrés. Si vous tapez

      vous ne récupérez pas le vecteur d'origine b .

      Vous pouvez déterminer si Hache =b a une solution exacte en trouvant la ligne échelonnée réduite de la matrice augmentée [A b] . Pour ce faire pour cet exemple, entrez

      Étant donné que la rangée du bas contient tous les zéros à l'exception de la dernière entrée, l'équation n'a pas de solution. Dans ce cas, pinv(A) renvoie une solution des moindres carrés.

      Systèmes surdéterminés

      Cet exemple montre comment des systèmes surdéterminés sont souvent rencontrés dans divers types d'ajustement de courbes à des données expérimentales.

      Une quantité y est mesurée à plusieurs valeurs différentes du temps t pour produire les observations suivantes. Vous pouvez saisir les données et les afficher dans un tableau avec les instructions suivantes.

      Essayez de modéliser les données avec une fonction exponentielle décroissante

      L'équation précédente dit que le vecteur y doit être approximé par une combinaison linéaire de deux autres vecteurs. L'un est un vecteur constant contenant tous les uns et l'autre est le vecteur avec les composantes exp(-t) . Les coefficients inconnus, c 1 et c 2 , peuvent être calculés en effectuant un ajustement par les moindres carrés, ce qui minimise la somme des carrés des écarts des données par rapport au modèle. Il y a six équations à deux inconnues, représentées par une matrice 6x2.

      Utilisez l'opérateur de barre oblique inverse pour obtenir la solution des moindres carrés.

      En d'autres termes, les moindres carrés ajustés aux données sont

      y ( t ) = 0 . 4 7 6 0 + 0 . 3 4 1 3 e-t.

      Les instructions suivantes évaluent le modèle par incréments régulièrement espacés en t , puis tracent le résultat avec les données d'origine :

      E*c n'est pas exactement égal à y , mais la différence pourrait bien être inférieure aux erreurs de mesure dans les données d'origine.

      Une matrice rectangulaire A est déficiente en rang si elle n'a pas de colonnes linéairement indépendantes. Si A est de rang déficient, alors la solution des moindres carrés de AX = B n'est pas unique. AB émet un avertissement si A est de rang insuffisant et produit une solution des moindres carrés. Vous pouvez utiliser lsqminnorm pour trouver la solution X qui a la norme minimale parmi toutes les solutions.

      Systèmes sous-déterminés

      Cet exemple montre comment la solution aux systèmes sous-déterminés n'est pas unique. Les systèmes linéaires sous-déterminés impliquent plus d'inconnues que d'équations. L'opération de division à gauche de la matrice dans MATLAB trouve une solution de base des moindres carrés, qui a au plus m composants non nuls pour une matrice de coefficients m par n.

      Voici un petit exemple aléatoire :

      Le système linéaire Rp = b fait intervenir deux équations à quatre inconnues. Comme la matrice de coefficients contient de petits entiers, il convient d'utiliser la commande format pour afficher la solution dans un format rationnel. La solution particulière est obtenue avec

      L'une des composantes non nulles est p(2) car R(:,2) est la colonne de R avec la plus grande norme. L'autre composante non nulle est p(4) car R(:,4) domine après l'élimination de R(:,2).

      La solution générale complète du système sous-déterminé peut être caractérisée en ajoutant p à une combinaison linéaire arbitraire des vecteurs d'espace nul, qui peut être trouvée en utilisant la fonction nulle avec une option demandant une base rationnelle.

      On peut confirmer que R*Z est nul et que le résidu R*x - b est petit pour tout vecteur x , où

      Puisque les colonnes de Z sont les vecteurs d'espace nul, le produit Z*q est une combinaison linéaire de ces vecteurs :

      Z q = ( x 1 x ⇀ 2 ) ( u w ) = u x ⇀ 1 + w x ⇀ 2 .

      Pour illustrer, choisissez un q arbitraire et construisez x .

      Calculer la norme du résidu.

      Lorsqu'une infinité de solutions sont disponibles, la solution de norme minimale est particulièrement intéressante. Vous pouvez utiliser lsqminnorm pour calculer la solution des moindres carrés de la norme minimale. Cette solution a la plus petite valeur possible pour norm(p) .

      Résolution de plusieurs membres à droite

      Certains problèmes concernent la résolution de systèmes linéaires qui ont la même matrice de coefficients A , mais des membres droits différents b . Lorsque les différentes valeurs de b sont disponibles en même temps, vous pouvez construire b comme une matrice à plusieurs colonnes et résoudre tous les systèmes d'équations en même temps à l'aide d'une seule commande barre oblique inverse : X = A[b1 b2 b3 … ] .

      Cependant, parfois, les différentes valeurs de b ne sont pas toutes disponibles en même temps, ce qui signifie que vous devez résoudre plusieurs systèmes d'équations consécutivement. Lorsque vous résolvez l'un de ces systèmes d'équations à l'aide de la barre oblique (/) ou de la barre oblique inverse (), l'opérateur factorise la matrice de coefficients A et utilise cette décomposition matricielle pour calculer la solution. Cependant, chaque fois que vous résolvez un système d'équations similaire avec un b différent, l'opérateur calcule la même décomposition de A , ce qui est un calcul redondant.

      La solution à ce problème est de précalculer la décomposition de A , puis de réutiliser les facteurs à résoudre pour les différentes valeurs de b . En pratique, cependant, précalculer la décomposition de cette manière peut être difficile car vous devez savoir quelle décomposition calculer (LU, LDL, Cholesky, etc.) ainsi que comment multiplier les facteurs pour résoudre le problème. Par exemple, avec la décomposition LU, vous devez résoudre deux systèmes linéaires pour résoudre le système d'origine Axe = b:

      Au lieu de cela, la méthode recommandée pour résoudre des systèmes linéaires avec plusieurs membres droits consécutifs consiste à utiliser des objets de décomposition. Ces objets vous permettent de tirer parti des avantages en termes de performances du précalcul de la décomposition matricielle, mais ils ne pas nécessitent des connaissances sur l'utilisation des facteurs matriciels. Vous pouvez remplacer la décomposition LU précédente par :

      Si vous n'êtes pas sûr de la décomposition à utiliser, decomposition(A) choisit le type correct en fonction des propriétés de A , de la même manière que la barre oblique inverse.

      Voici un test simple des avantages potentiels de cette approche en termes de performances. Le test résout le même système linéaire clairsemé 100 fois en utilisant à la fois la barre oblique inverse () et la décomposition .


      Exercices de révision

      Pour les exercices suivants, déterminez si la paire ordonnée est une solution du système d'équations.

      Pour les exercices suivants, utilisez la substitution pour résoudre le système d'équations.

      10 x + 5 y = −5 3 x − 2 y = −12 10 x + 5 y = −5 3 x − 2 y = −12

      4 7 x + 1 5 y = 43 70 5 6 x − 1 3 y = − 2 3 4 7 x + 1 5 y = 43 70 5 6 x − 1 3 y = − 2 3

      Pour les exercices suivants, utilisez l'addition pour résoudre le système d'équations.

      Pour les exercices suivants, écrivez un système d'équations pour résoudre chaque problème. Résoudre le système d'équations.

      Systèmes d'équations linéaires : trois variables

      Pour les exercices suivants, résolvez le système de trois équations par substitution ou addition.

      0,5 x − 0,5 y = 10 − 0,2 y + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 z = 2 0,5 x − 0,5 y = 10 − 0,2 y + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 z = 2

      5 x + 3 y − z = 5 3 x − 2 y + 4 z = 13 4 x + 3 y + 5 z = 22 5 x + 3 y − z = 5 3 x − 2 y + 4 z = 13 4 x + 3 y + 5 z = 22

      x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2

      2 x − 3 y + z = −1 x + y + z = −4 4 x + 2 y − 3 z = 33 2 x − 3 y + z = −1 x + y + z = −4 4 x + 2 y − 3 z = 33

      3 x + 2 y − z = −10 x − y + 2 z = 7 − x + 3 y + z = −2 3 x + 2 y − z = −10 x − y + 2 z = 7 − x + 3 y + z = -2

      3 x + 4 z = −11 x − 2 y = 5 4 y − z = −10 3 x + 4 z = −11 x − 2 y = 5 4 y − z = −10

      2 x − 3 y + z = 0 2 x + 4 y − 3 z = 0 6 x − 2 y − z = 0 2 x − 3 y + z = 0 2 x + 4 y − 3 z = 0 6 x − 2 y − z = 0

      6 x − 4 y − 2 z = 2 3 x + 2 y − 5 z = 4 6 y − 7 z = 5 6 x − 4 y − 2 z = 2 3 x + 2 y − 5 z = 4 6 y − 7z = 5

      Pour les exercices suivants, écrivez un système d'équations pour résoudre chaque problème. Résoudre le système d'équations.

      Trois nombres impairs totalisent 61. Le plus petit est un tiers du plus grand et le nombre du milieu est 16 de moins que le plus grand. Quels sont les trois nombres ?

      Un théâtre local se vend à guichets fermés pour son spectacle. Ils vendent les 500 billets pour une bourse totale de 8 070,00 $. Les billets étaient au prix de 15 $ pour les étudiants, 12 $ pour les enfants et 18 $ pour les adultes. Si le groupe a vendu trois fois plus de billets pour adultes que de billets pour enfants, combien de billets de chaque type ont-ils été vendus ?

      Systèmes d'équations non linéaires et d'inégalités : deux variables

      Pour les exercices suivants, résolvez le système d'équations non linéaires.

      Pour les exercices suivants, représente graphiquement l'inégalité.

      Pour les exercices suivants, représente graphiquement le système d'inéquations.

      x 2 + y 2 + 2 x < 3 y > − x 2 − 3 x 2 + y 2 + 2 x < 3 y > − x 2 − 3

      x 2 − 2 x + y 2 − 4 x < 4 y < − x + 4 x 2 − 2 x + y 2 − 4 x < 4 y < − x + 4

      Fractions partielles

      Pour les exercices suivants, décomposez en fractions partielles.

      x 3 − 4 x 2 + 3 x + 11 ( x 2 − 2 ) 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x + 11 ( x 2 − 2 ) 2

      4 x 4 − 2 x 3 + 22 x 2 − 6 x + 48 x ( x 2 + 4 ) 2 4 x 4 − 2 x 3 + 22 x 2 − 6 x + 48 x ( x 2 + 4 ) 2

      Matrices et opérations matricielles

      Pour les exercices suivants, effectuez les opérations demandées sur les matrices données.

      Systèmes de résolution avec élimination gaussienne

      Pour les exercices suivants, écrivez le système d'équations linéaires de la matrice augmentée. Indiquez s'il y aura une solution unique.

      Pour les exercices suivants, écrivez la matrice augmentée à partir du système d'équations linéaires.

      − 2 x + 2 y + z = 7 2 x − 8 y + 5 z = 0 19 x − 10 y + 22 z = 3 − 2 x + 2 y + z = 7 2 x − 8 y + 5 z = 0 19 x − 10 y + 22 z = 3

      4 x + 2 y − 3 z = 14 − 12 x + 3 y + z = 100 9 x − 6 y + 2 z = 31 4 x + 2 y − 3 z = 14 − 12 x + 3 y + z = 100 9 x − 6 y + 2 z = 31

      x + 3 z = 12 − x + 4 y = 0 y + 2 z = − 7 x + 3 z = 12 − x + 4 y = 0 y + 2 z = − 7

      Pour les exercices suivants, résolvez le système d'équations linéaires par élimination de Gauss.

      3 x − 4 y = − 7 − 6 x + 8 y = 14 3 x − 4 y = − 7 − 6 x + 8 y = 14

      2 x + 3 y + 2 z = 1 − 4 x − 6 y − 4 z = − 2 10 x + 15 y + 10 z = 0 2 x + 3 y + 2 z = 1 − 4 x − 6 y − 4 z = − 2 10 x + 15 y + 10 z = 0

      − x + 2 y − 4 z = 8 3 y + 8 z = − 4 − 7 x + y + 2 z = 1 − x + 2 y − 4 z = 8 3 y + 8 z = − 4 − 7 x + y + 2 z = 1

      Résoudre des systèmes avec des inverses

      Pour les exercices suivants, trouvez l'inverse de la matrice.

      Pour les exercices suivants, trouvez les solutions en calculant l'inverse de la matrice.

      0,3 x − 0,1 y = − 10 − 0,1 x + 0,3 y = 14 0,3 x − 0,1 y = − 10 − 0,1 x + 0,3 y = 14

      4 x + 3 y − 3 z = − 4,3 5 x − 4 y − z = − 6,1 x + z = − 0,7 4 x + 3 y − 3 z = − 4,3 5 x − 4 y − z = − 6,1 x + z = − 0,7

      − 2 x − 3 y + 2 z = 3 − x + 2 y + 4 z = − 5 − 2 y + 5 z = − 3 − 2 x − 3 y + 2 z = 3 − x + 2 y + 4 z = − 5 − 2 y + 5 z = − 3

      Pour les exercices suivants, écrivez un système d'équations pour résoudre chaque problème. Résoudre le système d'équations.

      Les élèves ont été invités à apporter leur fruit préféré en classe. 90% des fruits se composaient de banane, de pomme et d'orange. Si les oranges étaient deux fois moins populaires que les bananes et que les pommes étaient 5% plus populaires que les bananes, quels sont les pourcentages de chaque fruit individuel ?

      Une sororité a organisé une vente de pâtisseries pour collecter des fonds et a vendu des brownies et des biscuits aux pépites de chocolat. Ils ont fixé le prix des brownies à 2 $ et les biscuits aux pépites de chocolat à 1 $. Ils ont amassé 250 $ et vendu 175 articles. Combien de brownies et combien de cookies ont été vendus ?

      Résoudre des systèmes avec la règle de Cramer

      Pour les exercices suivants, trouvez le déterminant.

      Pour les exercices suivants, utilisez la règle de Cramer pour résoudre les systèmes d'équations linéaires.

      4 x − 2 y = 23 − 5 x − 10 y = − 35 4 x − 2 y = 23 − 5 x − 10 y = − 35

      0,2 x − 0,1 y = 0 − 0,3 x + 0,3 y = 2,5 0,2 x − 0,1 y = 0 − 0,3 x + 0,3 y = 2,5

      x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x − 2 y + z = 0 x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x − 2 y + z = 0

      4 x − 3 y + 5 z = − 5 2 7 x − 9 y − 3 z = 3 2 x − 5 y − 5 z = 5 2 4 x − 3 y + 5 z = − 5 2 7 x − 9 y − 3 z = 3 2 x − 5 y − 5 z = 5 2

      3 10 x − 1 5 y − 3 10 z = − 1 50 1 10 x − 1 10 y − 1 2 z = − 9 50 2 5 x − 1 2 y − 3 5 z = − 1 5 3 10 x − 1 5 y − 3 10 z = − 1 50 1 10 x − 1 10 y − 1 2 z = − 9 50 2 5 x − 1 2 y − 3 5 z = − 1 5

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        • Auteurs : Jay Abramson
        • Éditeur/site Web : OpenStax
        • Titre du livre : Precalculus
        • Date de parution : 23 octobre 2014
        • Lieu : Houston, Texas
        • URL du livre : https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
        • URL de la section : https://openstax.org/books/precalculus/pages/9-review-exercises

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        Systèmes linéaires homogènes d'équations différentielles à coefficients constants

        où (gauche( t droit),left( t ight), ldots ,left( t ight)) sont des fonctions inconnues de la variable (t,) qui a souvent le sens du temps, (<>>) sont certains coefficients constants, qui peuvent être réels ou complexes, (left( t ight)) sont des fonctions données (dans le cas général, à valeurs complexes) de la variable (t.)

        On suppose que toutes ces fonctions sont continues sur un intervalle (left[ ight]) de l'axe des nombres réels (t.)

        le système d'équations différentielles peut s'écrire sous forme matricielle :

        [X’left( t ight) = AXleft( t ight) + fleft( t ight).]

        Si le vecteur (fleft( t ight)) est identiquement égal à zéro : (fleft( t ight) equiv 0,) alors le système est dit homogène :

        [X’left( t ight) = AXleft( t ight).]

        Des systèmes homogènes d'équations à coefficients constants peuvent être résolus de différentes manières. Les méthodes suivantes sont les plus couramment utilisées :

        • méthode d'élimination (la méthode de réduction des équations (n) à une seule équation de l'ordre (n))
        • méthode des combinaisons intégrables (incluant la méthode des coefficients indéterminés ou utilisant la forme de Jordan dans le cas de racines multiples de l'équation caractéristique)
        • méthode de la matrice exponentielle.

        Ci-dessous, sur cette page, nous discuterons en détail de la méthode d'élimination. D'autres méthodes de résolution de systèmes d'équations sont examinées séparément dans les pages suivantes.

        Méthode d'élimination

        En utilisant la méthode d'élimination, un système linéaire normal d'équations (n) peut être réduit à une seule équation linéaire d'ordre (n). Cette méthode est utile pour les systèmes simples, en particulier pour les systèmes d'ordre (2.)

        Considérons un système homogène de deux équations à coefficients constants :

        où les fonctions (,) dépendent de la variable (t.)

        Nous dérivons la première équation et substituons la dérivée () à partir de la deuxième équation :

        Maintenant, nous substituons (>) à partir de la première équation. En conséquence, nous obtenons une équation homogène linéaire du second ordre :

        Il est facile de construire sa solution, si l'on connaît les racines de l'équation caractéristique :

        Dans le cas des coefficients réels (<>>,) les racines peuvent être à la fois réelles (distinctes ou multiples) et complexes. En particulier, si les coefficients (>) et (>) ont le même signe, alors le discriminant de l'équation caractéristique sera toujours positif et, par conséquent, les racines seront réelles et distinctes.

        Après la fonction (left( t ight)) est déterminé, l'autre fonction (left( t ight)) peut être trouvé à partir de la première équation.

        La méthode d'élimination peut être appliquée non seulement aux systèmes linéaires homogènes. Il peut également être utilisé pour résoudre des systèmes d'équations différentielles non homogènes ou des systèmes d'équations à coefficients variables.


        Introduction aux équations différentielles ordinaires

        Introduction aux équations différentielles ordinaires, deuxième édition fournit une introduction aux équations différentielles. Ce livre présente l'application et comprend des problèmes de chimie, de biologie, d'économie, de mécanique et de circuits électriques. Organisée en 12 chapitres, cette édition commence par un aperçu des méthodes de résolution d'équations différentielles simples. Ce texte décrit ensuite les propriétés de base importantes des solutions d'équations différentielles linéaires et explique les équations linéaires d'ordre supérieur. D'autres chapitres envisagent la possibilité de représenter les solutions de certaines équations différentielles linéaires en termes de séries entières. Ce livre traite également des propriétés importantes de la fonction gamma et explique la stabilité des solutions et l'existence de solutions périodiques. Le dernier chapitre traite de la méthode de construction d'une solution de l'équation intégrale et explique comment établir l'existence d'une solution du système de valeurs initial. Ce livre est une ressource précieuse pour les mathématiciens, les étudiants et les chercheurs.

        Introduction aux équations différentielles ordinaires, deuxième édition fournit une introduction aux équations différentielles. Ce livre présente l'application et comprend des problèmes de chimie, de biologie, d'économie, de mécanique et de circuits électriques. Organisée en 12 chapitres, cette édition commence par un aperçu des méthodes de résolution d'équations différentielles simples. Ce texte décrit ensuite les propriétés de base importantes des solutions d'équations différentielles linéaires et explique les équations linéaires d'ordre supérieur. D'autres chapitres envisagent la possibilité de représenter les solutions de certaines équations différentielles linéaires en termes de séries entières. Ce livre traite également des propriétés importantes de la fonction gamma et explique la stabilité des solutions et l'existence de solutions périodiques. Le dernier chapitre traite de la méthode de construction d'une solution de l'équation intégrale et explique comment établir l'existence d'une solution du système de valeurs initial. Ce livre est une ressource précieuse pour les mathématiciens, les étudiants et les chercheurs.


        12.3 : Lois sur les taux

        Q12.3.1

        En quoi la vitesse d'une réaction et sa constante de vitesse diffèrent-elles ?

        S12.3.1

        La vitesse d'une réaction ou la vitesse de réaction est la variation de la concentration du réactif ou du produit sur une période de temps. Si les concentrations changent, le taux change également.

        La constante de vitesse (k) est une constante de proportionnalité qui relie les vitesses de réaction aux réactifs. Si les concentrations changent, la constante de vitesse ne change pas.

        Pour une réaction avec l'équation générale : (aA+bB&rarrcC+dD )

        la loi de vitesse déterminée expérimentalement a généralement la forme suivante :

        Q12.3.2

        Doubler la concentration d'un réactif augmente la vitesse d'une réaction quatre fois. Avec ces connaissances, répondez aux questions suivantes :

        1. Quel est l'ordre de la réaction par rapport à ce réactif?
        2. Le triplement de la concentration d'un réactif différent augmente la vitesse d'une réaction trois fois. Quel est l'ordre de la réaction par rapport à ce réactif?

        Q12.3.3

        Tripler la concentration d'un réactif augmente la vitesse d'une réaction neuf fois. Avec ces connaissances, répondez aux questions suivantes :

        1. Quel est l'ordre de la réaction par rapport à ce réactif?
        2. L'augmentation de la concentration d'un réactif d'un facteur quatre augmente la vitesse d'une réaction quatre fois. Quel est l'ordre de la réaction par rapport à ce réactif?

        Q12.3.4

        Dans quelle mesure et dans quelle direction chacun des éléments suivants affectera-t-il la vitesse de la réaction : (ce(g)+ce(g)⟶ce(g)+ce(g)) si la loi de vitesse de la réaction est (ce=k[ce]^2)?

        1. Diminution de la pression de NO2 de 0,50 atm à 0,250 atm.
        2. Augmentation de la concentration de CO de 0,01 M à 0,03 M.

        (a) Le procédé réduit le débit d'un facteur 4. (b) Le CO n'apparaissant pas dans la loi de débit, le débit n'est pas affecté.

        Q12.3.5

        Comment chacun des éléments suivants affectera-t-il la vitesse de la réaction : (ce(g)+ce(g)⟶ce(g)+ce(g)) si la loi de vitesse de la réaction est (ce=k[ce][ce]) ?

        1. Augmenter la pression de NO2 de 0,1 atm à 0,3 atm
        2. Augmentation de la concentration de CO de 0,02 M à 0,06 M.

        Q12.3.6

        Les vols réguliers d'avions supersoniques dans la stratosphère sont préoccupants car ces avions produisent de l'oxyde nitrique, NO, comme sous-produit dans les gaz d'échappement de leurs moteurs. L'oxyde nitrique réagit avec l'ozone, et il a été suggéré que cela pourrait contribuer à l'appauvrissement de la couche d'ozone. La réaction (ce) est du premier ordre par rapport à NO et O3 avec une constante de vitesse de 2,20 &fois 10 7 L/mol/s. Quelle est la vitesse de disparition instantanée du NO lorsque [NO] = 3,3 &fois 10 &moins6 M et [O3] = 5,9 &x 10 &moins7 M?

        Q12.3.7

        Le phosphore radioactif est utilisé dans l'étude des mécanismes de réaction biochimique car les atomes de phosphore sont des composants de nombreuses molécules biochimiques. L'emplacement du phosphore (et l'emplacement de la molécule dans laquelle il est lié) peut être détecté à partir des électrons (particules bêta) qu'il produit :

        Quel est le taux instantané de production d'électrons dans un échantillon avec une concentration en phosphore de 0,0033 M?

        Q12.3.8

        La constante de vitesse pour la décroissance radioactive du 14 C est de 1,21 &fois 10 &moins4 an &moins1 . Les produits de la désintégration sont des atomes d'azote et des électrons (particules bêta) :

        Quel est le taux instantané de production d'atomes N dans un échantillon avec une teneur en carbone 14 de 6,5 &x 10 &moins9 M?

        Q12.3.9

        Quel est le taux instantané de production d'atomes N Q12.3.8 dans un échantillon avec une teneur en carbone 14 de 1,5 &x 10 &moins9 M?

        Q12.3.10

        La décomposition de l'acétaldéhyde est une réaction de second ordre avec une constante de vitesse de 4,71 &x 10 &moins 8 L/mol/s. Quelle est la vitesse instantanée de décomposition de l'acétaldéhyde dans une solution à une concentration de 5,55 &x 10 &moins4 M?

        Q12.3.11

        L'alcool est éliminé de la circulation sanguine par une série de réactions métaboliques. La première réaction produit de l'acétaldéhyde puis d'autres produits se forment. Les données suivantes ont été déterminées pour le taux auquel l'alcool est éliminé du sang d'un homme moyen, bien que les taux individuels puissent varier de 25 à 30%. Les femmes métabolisent l'alcool un peu plus lentement que les hommes :

        [C2H5OH] (M) 4.4 &fois 10 &moins2 3,3 &fois 10 &moins2 2,2 &fois 10 &moins2
        Débit (mol/L/h) 2,0 &x 10 &moins2 2,0 &x 10 &moins2 2,0 &x 10 &moins2

        Déterminez l'équation de vitesse, la constante de vitesse et l'ordre global de cette réaction.

        taux = k k = 2,0 &x 10 &moins2 mol/L/h (environ 0,9 g/L/h pour le mâle moyen) La réaction est d'ordre zéro.

        Q12.3.12

        Sous certaines conditions, la décomposition de l'ammoniac sur une surface métallique donne les données suivantes :

        [NH3] (M) 1,0 &x 10 &moins3 2,0 &fois 10 &moins3 3,0 &fois 10 &moins3
        Débit (mol/L/h 1 ) 1,5 &x 10 &moins6 1,5 &x 10 &moins6 1,5 &x 10 &moins6

        Déterminez l'équation de vitesse, la constante de vitesse et l'ordre global de cette réaction.

        Q12.3.13

        Le chlorure de nitrosyle, NOCl, se décompose en NO et Cl2.

        Déterminez l'équation de vitesse, la constante de vitesse et l'ordre global de cette réaction à partir des données suivantes :

        [NOCl] (M) 0.10 0.20 0.30
        Débit (mol/L/h) 8,0 &fois 10 &moins 10 3,2 &fois 10 &moins9 7,2 &fois 10 &moins9
        Solution

        Avant de pouvoir déterminer la constante de taux, nous devons d'abord déterminer l'équation de taux de base et l'ordre de taux. L'équation de vitesse de base pour cette réaction, où n est l'ordre de vitesse de NOCl et k est la constante de vitesse, est

        puisque NOCl est le réactif dans la réaction.

        Afin de déterminer l'ordre de la réaction, nous devons trouver l'ordre de [NOCl] car c'est le seul réactif de la réaction. Pour ce faire, nous devons examiner comment la vitesse de la réaction change lorsque la concentration de NOCl change.

        Comme [NOCl] double en concentration de 0,10 M à 0,20 M le taux passe de 8,0 x 10 -10 à 3,2 x 10 -9

        (3,2 x 10 -9 (mol/L/h))/(8,0 x 10 -10 (mol/L/h)) = 4

        nous concluons donc que lorsque [NOCl] double, le taux augmente de 4. Puisque 2 2 = 4, nous pouvons dire que l'ordre de [NOCl] est 2 donc notre loi de taux mise à jour est

        Maintenant que nous avons l'ordre, nous pouvons substituer les premières valeurs expérimentales du tableau donné pour trouver la constante de vitesse, k

        (8,0 x 10 -10 (mol/L/h)) = k(0,10 M) 2 donc

        Nous avons pu trouver les unités de k en utilisant l'ordre des taux, lorsque l'ordre des taux est de 2 unités de k sont M -1 x sec -1

        Donc l'équation du taux est : taux = k[NOCl] 2 , c'est du second ordre, et k = 8 x 10 -8 M -1 x sec -1

        Loi du taux global : [rate = underbrace<(8 imes 10^<-8>)>_< ext<1/(M x sec)>> [NOCl]^2 onumber ]

        taux = k[NOCl] 2 k = 8,0 &x 10 &moins8 L/mol/s second ordre

        Q12.3.14

        A partir des données suivantes, déterminez l'équation de vitesse, la constante de vitesse et l'ordre par rapport à UNE pour la réaction (A𘾞C).

        [UNE] (M) 1,33 &fois 10 &moins2 2,66 &fois 10 &moins2 3,99 &fois 10 &moins2
        Débit (mol/L/h) 3,80 &fois 10 &moins7 1,52 &fois 10 &moins6 3,42 &fois 10 &moins6
        Solution

        A. En utilisant les données expérimentales, nous pouvons comparer les effets du changement de [A] sur la vitesse de réaction en reliant les rapports de [A] aux rapports de vitesses

        B. À partir de là, nous savons que doubler la concentration de A entraînera un quadruplement de la vitesse de réaction. L'ordre de cette réaction est 2.

        C. Nous pouvons maintenant écrire l'équation du taux puisque nous connaissons l'ordre :

        D. En insérant un ensemble de données expérimentales dans notre équation de vitesse, nous pouvons résoudre la constante de vitesse, k :

        [3.8 imes 10^ <-7>= k imes (1.33 imes 10^<-2>)^<2> onumber ]

        Q12.3.15

        L'oxyde d'azote (II) réagit avec le chlore selon l'équation :

        Les vitesses de réaction initiales suivantes ont été observées pour certaines concentrations de réactifs :

        [NON] (mol/L 1 ) [Cl2] (mol/L) Débit (mol/L/h)
        0.50 0.50 1.14
        1.00 0.50 4.56
        1.00 1.00 9.12

        Quelle est l'équation du taux qui décrit la dépendance du taux vis-à-vis des concentrations de NO et de Cl2? Quelle est la constante de vitesse ? Quels sont les ordres par rapport à chaque réactif ?

        Le taux peut être écrit comme

        (taux = k[A]^[B]^) où k est la constante de vitesse, et m et n sont les ordres de réaction.

        (2NO(g) + Cl_<2>(g) ightarrow 2NOCl(g))

        Maintenant, nous devons trouver les ordres de réaction. Les ordres de réaction ne peuvent être trouvés qu'à travers des valeurs expérimentales. Nous pouvons comparer deux réactions où l'un des réactifs a la même concentration pour les deux essais, et résoudre l'ordre de réaction.

        Nous pouvons utiliser les données du tableau fourni. Si nous insérons les valeurs des lignes 1 et 2, nous voyons que les valeurs de la concentration de Cl s'annuleront, ne laissant que les taux et les concentrations de NO.

        Nous pouvons maintenant résoudre pour m, et nous trouvons que m =2. Cela signifie que l'ordre de réaction pour [NON] est 2.

        Il faut maintenant trouver la valeur de n. Pour ce faire, nous pouvons utiliser la même équation mais avec les valeurs des lignes 2 et 3. Cette fois, la concentration de NO va s'annuler.

        Lorsque nous résolvons pour n, nous trouvons que n = 1. Cela signifie que l'ordre de réaction pour [Cl2] est 1.

        Nous sommes sur le point de terminer notre équation tarifaire.

        Enfin, nous pouvons résoudre pour la constante de vitesse. Pour ce faire, nous pouvons utiliser l'un des essais de l'expérience, et brancher les valeurs pour le taux et les concentrations de réactifs, puis résoudre pour k.

        (1,14 mol/L/h = k[0,5 mol/L]^<2>[0,5mol/L])

        Ainsi, notre équation de taux finale est :

        *Une erreur courante consiste à oublier les unités. Assurez-vous de suivre vos unités tout au long du processus de détermination de votre constante de taux. Soyez prudent car les unités changeront en fonction de l'ordre de réaction.

        taux = k[NON] 2 [Cl]2 k = 9,12 L 2 mol &moins2 h &moins1 second ordre en NO premier ordre en Cl2

        Q12.3.17

        L'hydrogène réagit avec le monoxyde d'azote pour former du monoxyde de diazote (gaz hilarant) selon l'équation :

        [ce

        (g)+ce(g)⟶ce(g)+ce(g) onuméro ] Déterminez l'équation de vitesse, la constante de vitesse et les ordres par rapport à chaque réactif à partir des données suivantes : [NON] (M) 0.30 0.60 0.60 [H2] (M) 0.35 0.35 0.70 Débit (mol/L/s) 2,835 &fois 10 &moins3 1,134 &fois 10 &moins2 2,268 &fois 10 &moins2 Solution Déterminez l'équation de vitesse, la constante de vitesse et les ordres par rapport à chaque réactif. La constante de vitesse et les ordres peuvent être déterminés par la loi de vitesse différentielle. La forme générale de la loi de taux différentiel est donnée ci-dessous : où A, B et C sont les concentrations des réactifs, k est la constante de vitesse et n, m et p font référence à l'ordre de chaque réactif. Pour trouver les ordres de chaque réactif, on voit que lorsque [NO] double mais [H2] ne change pas, le taux quadruple, ce qui signifie que [NO] est une réaction de second ordre ([NO] 2 ). Quand [H2] double mais [NO] ne change pas, le taux double, ce qui signifie que [H2] est une réaction de premier ordre. La loi sur les taux ressemblerait donc à ceci : Nous pouvons utiliser cette loi de vitesse pour déterminer la valeur de la constante de vitesse. Branchez les données de concentration et de vitesse de réactif de l'un des essais pour résoudre k la constante de vitesse. Dans ce cas, nous avons choisi d'utiliser les données de l'essai 1 de la deuxième colonne du tableau de données. Q12.3.18 Pour la réaction (A⟶B+C), les données suivantes ont été obtenues à 30 °C : Quel est l'ordre de la réaction par rapport à [UNE], et quelle est l'équation de taux ? Quelle est la constante de vitesse ? 1. L'équation de vitesse pour une réaction d'ordre (n) est donnée par (frac=). Où ([A]) est la concentration en M, et (frac) est le débit en M/s. Nous pouvons ensuite utiliser chaque ensemble de points de données, intégrer ses valeurs dans l'équation de taux et résoudre (n). Notez que vous pouvez utiliser n'importe quel point de données tant que la concentration correspond à son taux. Nous divisons l'équation de taux 1 par l'équation de taux 2 afin d'annuler k, la constante de taux. Maintenant, la seule inconnue que nous ayons est (n). En utilisant des règles de logarithme, on peut le résoudre. L'équation de taux est du second ordre par rapport à A et s'écrit (frac=). 2. Nous pouvons résoudre (k) en insérant n'importe quel point de données dans notre équation de taux (frac=). En utilisant les premiers points de données par exemple ( [A]=0.230 :frac) et ( frac = 4,17 imes ^ :frac)] on obtient l'équation (4.17 imes ^ :frac=]^2>) Ce qui résout pour (k=7.88 imes ^ frac) Puisque nous savons qu'il s'agit d'une réaction du second ordre, les unités appropriées pour (k) peuvent également être écrites sous la forme ( frac) (a) L'équation du taux est du second ordre dans A et s'écrit taux = k[UNE] 2 . (b) k = 7,88 &x 10 &moins13 L mol &moins1 s &moins1 Q12.3.19 Pour la réaction (Q⟶W+X), les données suivantes ont été obtenues à 30 °C : Quel est l'ordre de la réaction par rapport à [Q], et quelle est l'équation de taux ? Quelle est la constante de vitesse ? Quel est l'ordre de la réaction par rapport à [Q], et quelle est l'équation de taux ? Réaction de la commande : 2 car lorsque vous utilisez l'essai de ratio 3:2, cela ressemblera à ceci : ((dfrac>>)) = ((dfrac>>)) 2,82 = 1,7 x x = 2 donc l'ordre de réaction est 2 Équation de réaction de vitesse : Taux=k[Q] 2 Pour trouver la constante de vitesse (k), il suffit de brancher et de calculer l'un des essais dans l'équation de vitesse 1,04 x 10 -2 =k[0,212] 2 k=0,231 (M^s^) Q12.3.20 La constante de vitesse pour la décomposition du premier ordre à 45 °C du pentoxyde de diazote, N2O5, dissous dans le chloroforme, CHCl3, vaut 6,2 &fois 10 &moins4 min &moins1 . Quelle est la vitesse de la réaction lorsque [N2O5] = 0.40 M? Étape 1: La première étape consiste à écrire la loi de taux. On connaît la formule générale d'une loi de premier ordre. C'est comme suit : Taux=k[A] Étape 2: Nous branchons maintenant [N2O5] pour [A] dans notre loi tarifaire générale. Nous intégrons également notre constante de taux (k), qui nous a été donnée. Maintenant, notre équation ressemble à ceci : Étape 3: Nous branchons maintenant notre molarité donnée. [N2O5]=0.4 M. Maintenant notre équation ressemble à ceci : Étape 4: Nous résolvons maintenant notre équation. Cadence=(6.2x10 -4 min -1 )(0.4 M)= 2.48x10 -4 M/min. Étape 5 : Utilisez des chiffres significatifs et une conversion d'unité pour arrondir 2,48x10 -4 M/min à 2,5 &fois 10 &moins4 (moles)L -1 min -1 Q12.3.21 La production annuelle de HNO3 en 2013 était de 60 millions de tonnes métriques La majeure partie de cela a été préparée par la séquence de réactions suivante, chacune exécutée dans un récipient de réaction séparé. (ce(g)+ce(g)⟶ce(g)+ce(g)) (ce(g)+ce(g)⟶ce(g)) (ce(g)+ce(l)⟶ce(aq)+ce(g)) La première réaction est effectuée en brûlant de l'ammoniac dans l'air sur un catalyseur au platine. Cette réaction est rapide. La réaction dans l'équation (c) est également rapide. La seconde réaction limite la vitesse à laquelle l'acide nitrique peut être préparé à partir d'ammoniac. Si l'équation (b) est du second ordre en NO et du premier ordre en O2, quel est le taux de formation de NO2 lorsque la concentration en oxygène est de 0,50 M et la concentration d'oxyde nitrique est de 0,75 M? La constante de vitesse de la réaction est de 5,8 &x 10 &moins6 L 2 /mol 2 /s. Pour déterminer la loi de vitesse d'une équation, nous devons examiner son pas lent. Étant donné que les équations a et c sont rapides, l'équation b peut être considérée comme l'étape lente de la réaction. L'étape lente est également considérée comme l'étape déterminant la vitesse du système. Par conséquent, l'étape déterminant le taux est la deuxième étape car c'est l'étape lente. taux de production de (NO_2 = k [A]^m [B]^n ) Q12.3.22 Les données suivantes ont été déterminées pour la réaction : 1 2 3 (mathrm>) (M) 0.10 0.20 0.30 (mathrm>) (M) 0.050 0.050 0.010 Débit (mol/L/s) 3,05 &fois 10 &moins4 6,20 &fois 10 &moins4 1,83 &fois 10 &moins4 Déterminer l'équation de vitesse et la constante de vitesse pour cette réaction. En utilisant les réactifs, on peut former la loi de vitesse de la réaction : $ r=k[OCl^-]^n[I^-]^m ] À partir de là, nous devons utiliser les données pour déterminer l'ordre à la fois de ([OCl^-]) et de ([I^-]). Ce faisant, nous devons comparer (r_1) à (r_2) tel que : Nous pouvons "rayer" la concentration de ([OCl^-]) car elle a la même concentration dans les deux essais utilisés. Maintenant que nous savons que m (([I^-])) a un premier ordre de 1. Nous ne pouvons pas "barrer" ([I^-]) pour trouver ([OCl^-]) car il n'y a pas deux essais ayant la même concentration. Afin de résoudre pour n, nous allons brancher 1 pour m. Puisque nous savons que les ordres de n et de m sont égaux à un, nous ne pouvons pas les substituer dans l'équation de la loi de vitesse avec les concentrations respectives (de la première, de la deuxième ou de la troisième réaction) et résoudre la constante de vitesse, k . Ainsi la loi de vitesse globale est : $ r = (6.1 * 10^ frac )[OCl^-][I^-] ] Les unités de K dépendent de l'ordre global de la réaction. Pour trouver l'ordre global, nous ajoutons m et n ensemble. En faisant cela, nous trouvons un ordre global de 2. C'est pourquoi les unités pour K sont $ frac ] Q12.3.13 les réactifs et produits sont des gaz à la température de la réaction. Les données de taux suivantes ont été mesurées pour trois expériences : À partir de ces données, écrivez l'équation de vitesse de cette réaction gazeuse. Dans quel ordre est la réaction dans NO, Cl2, et globalement ? Calculer la constante de vitesse spécifique pour cette réaction. une. L'équation de vitesse peut être déterminée en concevant des expériences qui mesurent la ou les concentrations d'un ou plusieurs réactifs ou produits en fonction du temps. Pour la réaction (A+B ightarrow products), par exemple, nous devons déterminer k et les exposants m et m dans l'équation suivante : [rate=k[A]^m[B]^n onumber ] Pour ce faire, la concentration initiale de B peut être maintenue constante tout en faisant varier la concentration initiale de A et en calculant la vitesse de réaction initiale. Cette information permettrait de déduire l'ordre de réaction par rapport à A. Le même processus peut être fait pour trouver l'ordre de réaction par rapport à B. Dans cet exemple particulier, [frac=fracpas de numéro ] Donc, en prenant les valeurs de la table, [frac>>=fracpas de numéro ] et en annulant des conditions similaires, vous vous retrouvez avec [frac>>=frac onumber ] Maintenant, résolvez pour m (4=2^mLongrightarrow m=2) Puisque m=2, la réaction par rapport à (NO) est 2. (NON) est du second ordre. Vous pouvez répéter le même processus pour trouver n. Maintenant cette fois, résolvez pour n Puisque n=1, la réaction par rapport à (Cl_2) est 1. (Cl_2) est le premier ordre. L'équation du taux est donc[rate=k[NO]^2[Cl_2]^1 onumber ] Pour trouver la commande tarifaire globale, il vous suffit d'additionner les commandes ensemble. Deuxième commande + première commande fait le réaction globale du troisième ordre. b. La constante de vitesse est calculée en insérant les données de n'importe quelle ligne du tableau dans la loi de vitesse déterminée expérimentalement et en résolvant k. Pour une réaction du troisième ordre, les unités de k sont (frac). En utilisant l'expérience 1, [rate=k[NO]^2[Cl_2]^1Longrightarrow 5.1*10^ frac=k[0,5 m atm]^2[0,5 atm]^1pas de numéro ] [k=0.0408 fracpas de numéro ] L'ordre de réaction global est de trois. 10.3.1 : Théorie de base des systèmes linéaires homogènes (exercices)

        Théorie de la flexion élastique

        La contrainte, la déformation, la dimension, la courbure, l'élasticité, sont toutes liées, sous certaines hypothèses, par la théorie de la flexion simple. Cette théorie concerne la flexion de la poutre résultant des couples appliqués à la poutre sans tenir compte des forces de cisaillement.

        Principe de superposition

        Le principe de superposition est l'un des outils les plus importants pour résoudre les problèmes de chargement de poutres permettant la simplification de problèmes de conception très complexes.

        Pour les poutres soumises à plusieurs charges de différents types, la force de cisaillement, le moment de flexion, la pente et la flèche résultants peuvent être trouvés à n'importe quel endroit en additionnant les effets dus à chaque charge agissant séparément sur les autres charges.

        e = contrainte
        E = Module de Young = σ /e (N/m 2 )
        y = distance de la surface à la surface neutre (m).
        R = Rayon de l'axe neutre (m).
        I = Moment d'inertie (m 4 - plus normalement cm 4 )
        Z = module de section = I/ymax(m 3 - plus normalement cm 3 )
        F = Force (N)
        x = Distance le long de la poutre
        δ = déviation (m)
        θ = Pente (radians)
        σ = contrainte (N/m 2 )

        Une barre droite de matériau homogène n'est soumise qu'à un moment à une extrémité et à un moment égal et opposé à l'autre extrémité.

        Le faisceau est symétrique par rapport à Y-Y
        Les sections planes transversales restent planes et normales aux fibres longitudinales après pliage (hypothèse de Beroulli)
        La relation fixe entre la contrainte et la déformation (module de Young) pour le matériau de la poutre est la même pour la traction et la compression ( σ = E.e )

        Considérons deux sections très proches l'une de l'autre (AB et CD).
        Après pliage, les sections seront en A'B' et C'D' et ne seront plus parallèles. AC se sera étendu à A'C' et BD aura compressé à B'D'
        La ligne EF sera située de telle sorte qu'elle ne changera pas de longueur. Cette surface est appelée surface neutre et son intersection avec Z_Z est appelée axe neutre
        Les lignes de développement de A'B' et C'D' se coupent en un point 0 à un angle de θ radians et le rayon de E'F' = R
        Soit y la distance (E'G') de toute couche H'G' originellement parallèle à EF..Alors

        Et la déformation e à la couche H'G' =

        e = (H'G'- HG) / HG = (H'G'- HG) / EF = [(R+y) θ - R θ ] /R θ = y /R

        La relation acceptée entre la contrainte et la déformation est σ = E.e Par conséquent

        Par conséquent, pour l'exemple illustré, la contrainte de traction est directement liée à la distance au-dessus de l'axe neutre. La contrainte de compression est également directement liée à la distance au-dessous de l'axe neutre. En supposant que E est le même pour la compression et la traction, la relation est la même.

        Comme la poutre est en équilibre statique et n'est soumise qu'à des moments (pas de forces de cisaillement verticales), les forces à travers la section (AB) sont entièrement longitudinales et les forces de compression totales doivent équilibrer les forces de traction totales. Le couple interne résultant de la somme de ( σ .dA .y) sur toute la section doit être égal au moment appliqué extérieurement.

        Cela ne peut être correct que si Σ (y δ a) ou Σ (y.z. δ y) est le moment de l'aire de la section autour de l'axe neutre. Celui-ci ne peut être nul que si l'axe passe par le centre de gravité (centre de gravité) de la section.

        Le couple interne résultant de la somme de ( σ .dA .y) sur toute la section doit être égal au moment appliqué extérieurement. Par conséquent, le couple de la force résultant de la contrainte sur chaque zone lorsqu'il est totalisé sur toute la zone sera égal au moment appliqué

        De ce qui précède, la relation de flexion de poutre simple importante suivante résulte

        Il est clair d'en haut qu'une simple poutre soumise à une flexion génère une contrainte maximale à la surface la plus éloignée de l'axe neutre. Pour les sections symétriques par rapport à Z-Z, les contraintes maximales de compression et de traction sont égales.

        Le facteur I /ymax reçoit le nom de section Module (Z) et donc

        Les valeurs de Z sont fournies dans les tableaux indiquant les propriétés des profilés en acier standard

        Ci-dessous est représenté l'arc de l'axe neutre d'une poutre soumise à la flexion.

        Pour petit angle dy/dx = tan θ = θ
        La courbure d'une poutre est identifiée par dθ /ds = 1/R
        Dans la figure δθ est petit et δ x est pratiquement = δ s c'est-à-dire ds /dx =1

        De cette simple approximation, les relations suivantes sont dérivées.

        Intégration entre les limites sélectionnées.

        La déviation entre les limites est obtenue par une intégration supplémentaire.

        Il a été prouvé ref Cisaillement - Flexion que dM/dx = S et dS/dx = -w = d 2 M /dx
        Où S = la force de cisaillement M est le moment et w est la charge répartie/unité de longueur de poutre. donc

        Si w est constant ou une fonction intégrable de x alors cette relation peut être utilisée pour arriver à des expressions générales pour S, M, dy/dx ou y par des intégrations progressives avec une constante d'intégration ajoutée à chaque étape. Les propriétés des supports ou des fixations peuvent être utilisées pour déterminer les constantes. (x= 0 - simplement pris en charge, dx/dy = 0 extrémité fixe, etc.)

        De manière similaire, si une expression pour le moment fléchissant est connue, la pente et la déflexion peuvent être obtenues en tout point x par intégration simple et double de la relation et en appliquant des constantes d'intégration appropriées.

        Les fonctions de singularité peuvent être utilisées pour déterminer les valeurs lors du chargement d'une référence non simple


        Exemple - Poutre en porte-à-faux

        Considérons une poutre en porte-à-faux (section uniforme) avec une seule charge concentrée à l'extrémité. A l'extrémité fixe x = 0, dy = 0 , dy/dx = 0

        A partir de la balance d'équilibre ..Au support il y a un moment résistant -FL et une force verticale ascendante F.
        En tout point x le long de la poutre il y a un moment F(x - L) = MX = E I d 2 y /dx 2

        Exemple - Poutre simplement supportée

        Considérons une poutre de section uniforme simplement supportée avec une seule charge F au centre. Le faisceau sera dévié symétriquement autour de la ligne médiane avec une pente 0 (dy/dx) à la ligne médiane. Il est pratique de sélectionner l'origine sur la ligne centrale.

        Il s'agit d'une méthode pour déterminer le changement de pente ou la déviation entre deux points sur une poutre. Il s'exprime par deux théorèmes.

        Théorème 1
        Si A et B sont deux points sur une poutre, le changement d'angle (radians) entre la tangente en A et la tangente en B est égal à l'aire du diagramme des moments fléchissants entre les points divisé par la valeur pertinente de EI (le constante de rigidité).

        Théorème 2
        Si A et B sont deux points sur une poutre, le déplacement de B par rapport à la tangente de la poutre en A est égal au moment de l'aire du diagramme des moments fléchissant entre A et B autour de l'ordonnée passant par B divisé par la valeur pertinente de EI (la constante de rigidité en flexion).

        Exemples ..Deux exemples simples sont fournis ci-dessous pour illustrer ces théorèmes

        Exemple 1) Déterminez la déviation et la pente d'un porte-à-faux comme indiqué.

        Le moment fléchissant à A = MUNE = -FL
        L'aire du diagramme des moments fléchissants AM = -F.L 2 /2
        La distance au centre de gravité du diagramme BM de B= xc = 2L/3
        La déviation de B = y b = Un M.X c /E I = -F.L 3 /3EI
        La pente en B par rapport au tan en A = θ b =AM /E I = -FL 2 /2EI

        Exemple 2) Déterminez la déviation centrale et les pentes d'extrémité de la poutre simplement supportée comme indiqué.

        E = 210 GPa . I = 834 cm 4 . IE = 1 7514. 10 6 Nm 2

        UNE1 = 10 . 1,8 . 1,8 /2 = 16,2kNm2
        UNE2 = 10 . 1,8 . 2 = 36kNm2
        UNE3 = 10 . 1,8 . 2 = 36kNm2
        UNE4 = 10 . 1,8 . 1,8 /2 = 16,2kNm2
        X1 = Centroïde de A1 = (2/3) . 1,8 = 1,2 m
        X2 = Centroïde de A2 = 1,8 + 1 = 2,8m
        X3 = Centroïde de A3 = 1,8 + 1 = 2,8m
        X4 = Centroïde de A4 = (2/3) . 1,8 = 1,2m

        La pente en A est donnée par l'aire du diagramme des moments entre A et C divisée par EI.

        θ UNE = (Un1 + Un2) /EI = (16,2+36).10 3 / (1 7514. 10 6 )
        = 0,029rads = 1,7 degrés

        La déviation au centre (C) est égale à la déviation du point A au-dessus d'une droite tangente à C.
        Il faut donc prendre des moments autour de la ligne de déviation en A.

        Les poutres constituées de plusieurs matériaux peuvent être traitées en utilisant la technique de largeur équivalente si les contraintes maximales dans chacun des matériaux se situent dans la limite élastique des matériaux concernés. Considérons une poutre mixte comme indiqué ci-dessous. L'acier a un module d'élasticité ES = 210.10 3 N/mm 2 et l'aluminium a un EUNE = 78.10 3 N/mm 2 .

        La poutre composite est analysée sur l'hypothèse de base que les surfaces planes restent planes pendant la flexion dans la limite élastique, donc sur toute la profondeur de la poutre, la déformation (déflexion/longueur d'origine) est constante, c'est-à-dire que la déflexion est proportionnelle à la distance par rapport à l'axe neutre. du faisceau. La contrainte est égale au (stress/module de Young(E)) Se référer à la figure ci-dessous

        Or pour obtenir la section équivalente qui est tout en aluminium les dimensions de l'aluminium de remplacement doivent être telles que les propriétés mécaniques soient équivalentes au matériau d'origine. La profondeur globale de la section transformée est la même que celle de la section originale. La déformation résultante dans tout élément dA de la section transformée doit être constante.

        L'aire équivalente de la section transformée à base d'aluminium est égale à l'aire de la section d'acier d'origine x nSA. Si la profondeur de la section transformée est la même que la section d'origine alors la largeur de la section en aluminium transformée est égale à nSA x largeur de la section d'acier d'origine.

        La surface équivalente de la section en aluminium doit être soumise à la même contrainte que la section en acier d'origine positionnée à la même distance de l'axe neutre de la section. La théorie de la poutre simple peut être utilisée pour calculer les contraintes de flexion dans la section transformée. Les contraintes réelles seront bien entendu n x les contraintes calculées dans la section transformée.

        Exemple sur poutres mixtes

        Considérons une poutre composite comprenant des sections d'acier, de laiton et d'aluminium. Produire une section équivalente à base d'aluminium. Calculer la position de l'axe neutre et le moment d'inertie de la section équivalente.

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