Des articles

6.3 : Solutions de séries et convergence - Mathématiques


Dans la dernière section, nous avons vu comment trouver des solutions en série aux équations différentielles linéaires du second ordre. Dans cette discussion, nous allons dériver une méthode alternative pour trouver des solutions en série. Nous apprendrons également à déterminer le rayon de convergence des solutions en jetant un coup d'œil rapide à l'équation différentielle.

Exemple (PageIndex{1})

Considérons l'équation différentielle

[ y'' + y' + ty = 0. onumber]

Comme précédemment, nous cherchons une solution en série

[ y = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + a_4t^4 + ... ;. pas de numéro]

La théorie de la série de Taylor stipule que

[ n!; a_n = y^{(n)}(0). pas de numéro ]

On a

[ y'' = -y' -ty. pas de numéro ]

Brancher 0 donne

[ 2!, a_2 = y''(0) = -y'(0) + 0 = -a_1 onumber ]

[ a_2 = -dfrac{a_1}{2}. pas de numéro]

Prendre la dérivée de l'équation différentielle donne

[ (y'' + y' + ty)' = y''' + y'' + ty' + y = 0 onumber ]

ou alors

[ y''' = -y'' - ty' - y. pas de numéro]

Brancher zéro donne

[ 3!, a_3 = a_1 - a_0 onumber]

[ a_3 = dfrac{a_1}{6} - dfrac{a_0}{6}. pas de numéro]

Prendre une autre dérivée donne

[ (y''' + y'' + ty' + y)' = y^{(iv)} + y''' + ty'' + 2y' = 0 onumber ]

ou alors

[ y^{(iv)} = -y''' - ty'' - 2y' . pas de numéro]

Brancher zéro donne

[ 4! ,a_4 = -a_1 + a_0 - 2a_1 onuméro ]

[ a_4 = -dfrac{49}{24} a_1 + dfrac{a_0}{24}. pas de numéro]

La chose importante à noter ici est que tous les coefficients peuvent être écrits en fonction des deux premiers. Pour arriver à un théorème à ce sujet, nous avons d'abord besoin d'une définition.

Définition : fonction analytique

Une fonction (f(x)) est appelée analytique à (x_0) si (f(x)) est égal à sa série entière.

Il s'avère que si (p(x)) et (q(x)) sont analytiques alors il existe toujours une solution en série entière de l'équation différentielle correspondante. Nous indiquons ce fait ci-dessous sans preuve. Si (x_0) est un point tel que (p(x)) et (p(x)) sont analytiques, alors (x_0) est appelé un point ordinaire de l'équation différentielle.

Théorème

Soit (x_0) un point ordinaire de l'équation différentielle

[ L(y) = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0. ]

Alors la solution générale peut être représentée par la série entière

[ y= sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n = a_0,y_1(x) + a_1,y_2(x). ]

où (a_0) et (a_1) sont des constantes arbitraires et (y_1) et (y_2) sont analytiques à (x_0). Les rayons de convergence pour (y_1) et (y_2) sont au moins aussi grands que les rayons minimaux de convergence pour (p) et (q).

Remarque: Le moyen le plus simple de trouver les rayons de convergence de la plupart des fonctions nous en utilisant le fait suivant

Si (f(x)) est une fonction analytique pour tout (x), alors le rayon de convergence pour (1/f(x)) est la distance du centre de convergence à la racine la plus proche ( éventuellement complexe) de (f(x)).

Exemple (PageIndex{2})

Trouver une borne inférieure pour le rayon de convergence des solutions en série sur (x = 1) pour l'équation différentielle

[ (x^2 + 4); y'' + ext{sin} ; (x)y' + e^xy = 0. onumber ]

Solution

On a

[ p(x) = dfrac{sin x}{x^2 + 4} onumber]

[ q(x) = dfrac{e^x}{x^2 + 4} . pas de numéro]

Les deux sont des quotients de fonctions analytiques. Les racines de (x^2 + 4) sont

[2i ;;; ext{et} ;;; -2i. pas de numéro ]

La distance de (1) à (2i) est la même que la distance de ((1,0)) à ((0,2)) qui est ( sqrt{5} ). On obtient la même distance de (1) à (-2i). Donc les rayons de convergence des solutions sont tous les deux au moins ( sqrt{5} ).


Voir la vidéo: QUEST-CE QUE LE HASARD? (Décembre 2021).